Non-local conservation laws for traffic flow modeling
Lois de conservation avec flux non-local pour la modélisation du trafic routier
Résumé
In this thesis, we provide mathematical traffic flow models with non-local fluxes and adapted numerical schemes to compute approximate solutions to such kind of equations. More precisely, we consider flux functions depending on an integral evaluation of the conserved variables through a convolution product. First of all, we prove the well-posedness of entropy weak solutions for a class of scalar conservation laws with non-local flux arising in traffic modeling. This model is intended to describe the reaction of drivers that adapt their velocity with respect to what happens in front of them. Here, the support of the convolution kernel is proportional to the look-ahead distance of drivers. We approximate the problem by a Lax- Friedrichs scheme and we provide some estimates for the sequence of approximate solutions. Stability with respect to the initial data is obtained through the doubling of variable technique. We study also the limit model as the kernel support tends to infinity. After that, we prove the stability of entropy weak solutions of a class of scalar conservation laws with non-local flux under higher regularity assumptions. We obtain an estimate of the dependence of the solution with respect to the kernel function, the speed and the initial datum. We also prove the existence for small times of weak solutions for non-local systems in one space dimension, given by a non-local multi-class model intended to describe the behaviour of different groups drivers or vehicles. We approximate the problem by a Godunov-type numerical scheme and we provide uniform L∞ and BV estimates for the sequence of approximate solutions, locally in time. We present some numerical simulations illustrating the behavior of different classes of vehicles and we analyze two cost functionals measuring the dependence of congestion on traffic composition. Furthermore, we propose alternative simple schemes to numerically integrate non-local multi- class systems in one space dimension. We obtain these schemes by splitting the non-local conservation laws into two different equations, namely, the Lagrangian and the remap steps. We provide some estimates recovered by approximating the problem with the Lagrangian- Antidiffusive Remap (L-AR) schemes, and we prove the convergence to weak solutions in the scalar case. Finally, we show some numerical simulations illustrating the efficiency of the LAR schemes in comparison with classical first and second order numerical schemes. Moreover, we recover the numerical approximation of the non-local multi-class traffic flow model proposed, presenting the multi-class version of the Finite Volume WENO (FV-WENO) schemes, in order to obtain higher order of accuracy. Simulations using FV-WENO schemes for a multi-class model for autonomous and human-driven traffic flow are presented. Finally, we introduce a traffic model for a class of non-local conservation laws at road junctions. Instead of a single velocity function for the whole road, we consider two different road segments, which may differ for their speed law and number of lanes. We use an upwind type numerical scheme to construct a sequence of approximate solutions and we provide uniform L∞ and BV estimates. Using a Lax-Wendroff type argument, we prove the well-posedness of the proposed model. Some numerical simulations are compared with the corresponding (discontinuous) local model.
Le but principal de cette thèse est de fournir des modèles mathématiques de trafic routier avec flux non-locaux, et des schémas numériques adaptés pour analyser numériquement ce type de modèles. D’abord, nous considérons une classe d’équations scalaires, où le sup- port du noyau de convolution est proportionnel à la distance d’anticipation des conducteurs. Nous prouvons la stabilité des solutions par rapport aux données initiales et en déduisons l’existence par un argument d’approximation basé sur un schéma de type Lax-Friedrichs. Nous fournissons également la première preuve de convergence quand le support du noyau tend vers +∞, ainsi que quelques simulations numériques. Ensuite, nous nous concentrons sur une classe spécifique d’équations scalaires, en considérant des noyaux réguliers. Le but est l’étude de problèmes d’optimisation concernant la gestion du trafic et, pour cette raison, nous sommes intéressés par l’étude de la dépendance des solutions en fonction du noyau de convolution et de la vitesse. En appliquant soigneusement la technique de doublement des variables de Kružkov, nous dérivons la dépendance L1 -Lipschitz des solutions par rapport à la donnée initiale, au noyau et á la vélocité. Nous montrons des simulations numériques illustrant le comportement des solutions d’un modèle non-local de trafic, lorsque la taille et la position du support du noyau ou la vélocité varient. En outre, nous considérons une classe de systèmes de M lois de conservation non-locales dans une dimension d’espace. Nous considérons un noyau anisotrope différent pour chaque équation du système. Le modèle prend en compte la distribution de conducteurs et de véhicules hétérogènes caractérisés par leurs vitesses maxi- males et leur horizon de vue dans un flux de trafic. Nous prouvons des estimations L∞ et BV uniformes sur les solutions approchées obtenues par un schéma numérique de type Godunov et nous montrons l’existence en temps petits de solutions faibles. Nous présentons également quelques simulations numériques pour M = 2. En particulier, nous considérons le cas d’un flux mixte de voitures et de poids lourds sur un tronçon de route et d’un flux de véhicules mixtes autonomes et non autonomes sur une route circulaire. L’approximation numérique des solutions de ce modèle est difficile en raison de la grande non-linéarité du système et de la dépendance de la fonction flux du terme de convolution. Nous présentons une généralisation des schémas de Lagrangian-Antidiffusive Remap (L-AR). Nous dérivons certaines propriétés des schémas dans les cas scalaires et multi-classe. Dans le cas scalaire, nous obtenons des estimations uniformes L∞ et BV sur les solutions approchées calculées à l’aide des schémas LAR afin de prouver l’existence de solutions faibles. Nous introduisons une version du second ordre d’un schéma numérique de type Godunov et nous présentons quelques simulations numériques, en analysant l’erreur L1 des solutions approchées calculées avec différents schémas. Nous proposons aussi un schéma WENO (FVWENO) aux volumes finis d’ordre élevé pour résoudre le système multi-classe non-local. Enfin, nous proposons un modèle scalaire unidimensionnel pour une jonction de deux routes. Ce modèle est basé sur la vitesse moyenne non-locale en aval. Il est destiné à décrire le com- portement des conducteurs sur deux segments de route qui diffèrent par leur loi de vitesse et leur densité maximale autorisée. Nous approchons la solution en utilisant un schéma upwind adapté. En dérivant plusieurs propriétés du schéma, nous sommes en mesure de prouver le caractère bien posé du modèle.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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