H infinity approximation, analytic interpolation and convex optimisation : application to broadband impedance matching
Approximation H infini, interpolation analytique et optimisation convexe : application à l’adaptation d’impédance large bande
Résumé
The thesis makes an in-depth study of one of the classical problems in RF circuit design,the problem of impedance matching. Matching problem addresses the issue of transmitting the maximum available power from a source to a load within a frequency band. Antennas are one of the classical devices in which impedance matching plays an important role. The design of a matching circuit for a given load primarily amounts to find a lossless scattering matrix which when chained to the load minimize the reflection of power in the total system.In this work, both the theoretical aspects of the broadband matching problem and thepractical applicability of the developed approaches are given due importance. Part I of the thesis covers two different yet closely related approaches to the matching problem. These are based on the classical approaches developed by Helton and Fano-Youla to study the broadband matching problems. The framework established in the first approach entails in finding the best H infinity approximation to an L infinity function, Փ via Nehari's theory. This amounts to reduce the problem to a generalized eigen value problem based on an operator defined on H2, the Hankel operator, HՓ. The realizability of a given gain is provided by the constraint, operator norm of HՓ less than or equal to one. The second approach formulates the matching problem as a convex optimisation problem where in further flexibility is provided to the gain profiles compared to the previous approach. It is based on two rich theories, namely Fano-Youla matching theory and analytic interpolation. The realizabilty of a given gain is based on the Fano-Youla de-embedding conditions which reduces to the positivity of a classical matrix in analytic interpolation theory, the Pick matrix. The concavity of the concerned Pick matrix allows finding the solution to the problem by means of implementing a non-linear semi-definite programming problem. Most importantly, we estimate sharp lower bounds to the matching criterion for finite degree matching circuits and furnish circuits attaining those bounds.Part II of the thesis aims at realizing the matching circuits as ladder networks consisting of inductors and capacitors and discusses some important realizability constraints as well. Matching circuits are designed for several mismatched antennas, testing the robustness of the developed approach. The theory developed in the first part of the thesis provides an efficient way of comparing the matching criterion obtained to the theoretical limits.
La thèse étudie en profondeur l'un des problèmes classiques de la conception de circuits RF, le problème de l'adaptation d'impédance. L’adaptation d’impédance consiste à maximiser le transfert de puissance d'une source à une charge dans une bande de fréquences. Les antennes sont l'un des dispositifs classiques dans lesquels l'adaptation d'impédance joue un rôle important. La conception d'un circuit d'adaptation pour une charge donnée revient principalement à trouver une matrice de diffusion sans perte qui, lorsqu'elle est enchaînée à la charge, minimise la réflexion de la puissance dans l'ensemble du système.Dans ce travail, les aspects théoriques du problème de l'adaptation et l'applicabilité pratique des approches développées sont dûment pris en compte. La partie I de la thèse couvre deux approches différentes mais étroitement liées du problème de l'adaptation large bande. Le cadre développé dans la première approche consiste à trouver la meilleure approximation H infini d'une fonction L infini, Փ via la théorie de Nehari. Cela revient à réduire le problème à un problème généralisé de valeurs propres basé sur un opérateur défini sur H2, l'opérateur de Hankel, HՓ. La réalisabilité d'un gain donné est fournie par la contrainte, opérateur norme de HՓ inférieure ou égale à un. La seconde approche formule le problème de l'adaptation comme un problème d'optimisation convexe où une plus grande flexibilité est fournie aux profils de gain par rapport à l'approche précédente. Il est basé sur deux théories riches, à savoir la théorie de l'adaptation de Fano-Youla et l'interpolation analytique. La réalisabilité d'un gain donné est basée sur les conditions de dé-chaînage de Fano-Youla qui se réduisent à la positivité d'une matrice classique en théorie d'interpolation analytique, la matrice de Pick. La concavité de la matrice de Pick concernée permet de trouver la solution au problème au moyen de l'implémentation d'un problème de programmation semi-défini non linéaire. Ainsi, nous estimons des limites inférieures nettes au niveau d'adaptation pour les circuits d'adaptation de degré fini et fournissons des circuits atteignant ces limites.La partie II de la thèse vise à réaliser les circuits d'adaptation sous forme de réseaux en échelle constitués d'inductances et de condensateurs et aborde également certaines contraintes importantes de réalisabilité. Les circuits d'adaptation sont conçus pour plusieurs antennes non-adaptées, testant la robustesse de l'approche développée. La théorie développée dans la première partie de la thèse offre un moyen efficace de comparer le niveau d'adaptation atteint aux limites théoriques.
Origine : Version validée par le jury (STAR)