Width Parameters on Even-Hole-Free Graphs
Paramètres de largeur des graphes sans trous pairs
Résumé
A hole in a graph is a chordless cycle of length at least four. A graph is even-hole-free if it does not contain any hole of even length as an induced subgraph (where a subgraph is induced if it can be obtained by deleting vertices from the original graph). The first major structural study of this class of graphs was done by Conforti, Cornuéjols, Kapoor, and Vušković (2002), where their primary motivation was to develop techniques that can then be used in the study of the well-known class of perfect graphs. Indeed, the decomposition technique which was developed during the study of even-hole-free graphs led to the proof of the celebrated Strong Perfect Graph Conjecture by Chudnovsky, Seymour, Robertson, and Thomas (proved in 2002). Studies show that those classes of graphs have a similar structure in terms of decomposition theorem. However, while many optimization problems such as graph coloring and maximum independent set problems are polynomial-time solvable for perfect graphs, the complexity is unknown for even-hole-free graphs. The goal of this thesis is to have a better understanding of the structure of even-hole-free graphs. For that purpose, we study some width parameters of even-hole-free graphs, particularly tree-width. tree-width is a number associated with a graph in order to measure how close is the graph from being a tree. Intuitively, small tree-width means that the graph has a kind of tree-like structure while high tree-width means that the structure is more complex. In general, the tree-width of even-hole-free graphs is unbounded because complete graphs are even-hole-free. But there exist even-hole-free graphs with tree-width bounded by some constant or by a function of its clique number. This happens when some structures are excluded, such as when the graphs are planar, or has clique number two, or contains no induced subgraph isomorphic to a pan (a hole with an additional pendant edge), or a cap (a hole with an additional vertex that is adjacent to two vertices in the hole that are of distance two). In this thesis, we show that graphs with clique number three may have arbitrarily large tree-width, answering negatively a question by Cameron, Chaplick, and Hoàng (2018). For the proof, we establish a family of even-hole-free graphs with clique number three that have arbitrarily large tree-width. Motivated by this result, we discover other subclasses of even-hole-free graphs that have bounded tree-width.
Un trou dans un graphe est un cycle sans corde d'une longueur au moins quatre. Un graphe est sans trou pair s'il ne contient aucun trou de longueur paire comme sous-graphe induit (où un sous-graphe est induit s'il peut être obtenu en supprimant des sommets du graphe d'origine). La première étude structurelle majeure de cette classe de graphes a été réalisée par Conforti, Cornuéjols, Kapoor et Vušković (2002), où leur motivation première était de développer des techniques qui peuvent ensuite être utilisées dans l'étude des graphes parfaits. En effet, la technique de décomposition qui a été développée lors de l'étude des graphes sans trous pairs a conduit à la preuve de la célèbre conjecture des graphes parfaits de Chudnovsky, Seymour, Robertson et Thomas (prouvée en 2002). Des études montrent que ces classes de graphes ont une structure similaire en termes de théorème de décomposition. Cependant, alors que de nombreux problèmes d'optimisation tels que la coloration des graphes et les problèmes d'ensembles indépendants maximaux peuvent être résolus en temps polynomial pour des graphes parfaits, la complexité est inconnue pour les graphes sans trous pairs. Le but de cette thèse est d'avoir une meilleure compréhension de la structure des graphes sans trous pairs. Pour cela, nous étudions certains paramètres de largeur de graphes sans trous pairs, en particulier la largeur d’arbre (ou tree-width). La tree-width est un nombre associé à un graphe afin de mesurer à quel point le graphe est proche d'être un arbre. Intuitivement, une petite tree-width signifie que le graphe a une structure proche de celle d’un arbre, tandis qu'une tree-width grande signifie que la structure est plus complexe. En général, la tree-width des graphes sans trous pairs est illimitée car les graphes complets sont sans trous pairs. Mais il existe des graphes sans trous pairs avec une tree-width limitée par une constante ou par une fonction de son nombre de clique. Cela se produit lorsque certaines structures sont exclues, par exemple lorsque les graphes sont planaires, ou sans triangle, ou ne contiennent pas de sous-graphe induit isomorphe à un poêle (un trou avec une arêtes supplémentaire), ou une casquette (un trou avec un sommet qui est adjacent à deux sommets du trou qui sont de distance deux). Dans cette thèse, nous montrons que les graphes sans clique de taille quatre peuvent avoir une tree-width arbitrairement grande, répondant négativement à une question de Cameron, Chaplick et Hoàng (2018). Pour la preuve, nous définissons une famille de graphes sans trous pairs et sans clique de taille quatre qui ont une tree-width arbitrairement grande. Motivés par ce résultat, nous découvrons d'autres sous-classes de graphes sans trous pairs ayant une tree-width bornée.
Origine : Version validée par le jury (STAR)