Subelliptic equations : control, singularities and spectral theory
Equations sous-elliptiques : contrôle, singularités et théorie spectrale
Résumé
In this thesis at the boundary between analysis and geometry, we study some subelliptic partial differential equations (PDEs) with modern tools coming from sub-Riemannian geometry and microlocal analysis. We first study the controllability and observability of some subelliptic PDEs: we show that in directions requiring more brackets to be generated, the propagation of energy (and hence the observability) takes more time. Our results apply with full generality to linear subelliptic wave equations, but also to some Schrödinger-type and damped wave equations. Then, we study the propagation of singularities in subelliptic wave equations: we show that singularities propagate only along null-bicharacteristics and abnormal extremal lifts of singular curves. This result makes a bridge with classical notions in sub-Riemannian geometry. We illustrate it in the Martinet case: we construct initial data whose singularities propagate along any singular curve at any speed between 0 and 1. Finally, we study the eigenfunctions of some families of subelliptic Laplacians, in the high-frequency limit: we show that their limits, called quantum limits, can be decomposed in an infinite number of pieces, corresponding to an infinite number of dynamics on the underlying manifold.
Dans cette thèse à la frontière entre analyse et géométrie, nous étudions des équations aux dérivées partielles (EDPs) sous-elliptiques en utilisant des outils récents de géométrie sous-Riemannienne et d'analyse microlocale. Nous étudions tout d'abord la contrôlabilité et l'observabilité d'EDPs sous-elliptiques, en montrant que plus une direction demande de crochets de Lie pour être engendrée, plus la propagation de l'énergie (et donc l'observabilité) se fait lentement dans cette direction. Nos résultats s'appliquent de façon générale aux équations d'ondes sous-elliptiques linéaires, mais aussi à des équations de type Schrödinger et à des équations d'ondes amorties. Ensuite, nous étudions la propagation des singularités dans les équations d'ondes sous-elliptiques : nous montrons que les singularités ne se propagent que le long des bicaractéristiques nulles et le long des relèvements anormaux extrémaux de courbes singulières. Ce résultat fait donc le lien avec des notions classiques de géométrie sous-Riemannienne. Nous l'illustrons dans le cas Martinet, en construisant des données initiales dont les singularités se propagent le long des courbes singulières à n'importe quelle vitesse entre 0 et 1. Enfin, nous étudions les fonctions propres de certaines familles de Laplaciens sous-elliptiques, dans la limite des hautes fréquences : nous montrons que leurs limites, appelées limites quantiques, peuvent être décomposées en une infinité de morceaux, correspondant à une infinité de dynamiques classiques sur la variété sous-jacente.
Origine : Version validée par le jury (STAR)