Shape turnpike, numerical control and optimal design for PDEs
Turnpike de forme, contrôle numérique et optimisation de formes pour les EDPs
Résumé
This thesis, which is in the field of optimal control of PDEs and shape optimization, addresses both theoretical and numerical issues. The first step of the thesis is the demonstration of the turnpike property for shape optimization problems or "shape turnpike". Indeed, for a quadratic cost under the constraints of a parabolic PDE controlled by a time-dependent domain acting as a source term, we manage to show by a relaxation method that the time-optimal shape is most of the time close to a stationary shape solution of a stationary optimization problem. Numerical simulations illustrate this result and have shown the need for an adapted numerical formulation. In the second part, we thus develop a general methodology for the numerical solution of optimal control problems with the FreeFEM and IpOpt softwares. Through several examples, from the simple linear quadratic case to the more complicated case of the optimal design of a micro-swimmer, using adjoint methods or automatic differentiation, we illustrate the effectiveness of the combination of FreeFEM and IpOpt as an optimization tool. Finally, we conclude with a description of the numerical methods used for the problem of the first part and give several propositions for future research.
Cette thèse, qui s’inscrit dans le domaine du contrôle optimal des EDPs et de l’optimisation de formes, aborde à la fois des questions théoriques et numériques. L’amorce de la thèse est la mise en évidence de la propriété de turnpike pour des problèmes d’optimisations de formes ou "shape turnpike". En effet, pour un coût quadratique sous la contraintes d’une EDP parabolique contrôlée par un domaine dépendant du temps et agissant comme un terme source, nous arrivons à montrer par une méthode de relaxation que la forme optimale en temps est la plupart du temps proche d’une forme stationnaire solution d’un problème d’optimisation stationnaire. Des simulations numériques illustrent ce résultat et ont fait apparaître la nécessité d’une formulation numérique adaptée. Nous élaborons donc en deuxième partie une méthodologie générale pour la résolution numérique de problèmes de contrôle optimal avec les logiciels FreeFEM et IpOpt. A travers plusieurs exemples, du cas simple linéaire quadratique au cas plus compliqué du design optimal d’un micro-nageur, en passant par des méthodes adjointes ou de la différentiation automatique, nous illustrons l’efficacité de la combinaison FreeFEM et IpOpt comme outil d'optimisation. Enfin, nous terminons avec un descriptif des méthodes numériques utilisées pour le problème de la première partie et donnons plusieurs pistes de recherche futures.
Origine : Version validée par le jury (STAR)