ADER scheme on Overset Grids with Compact Transmission and Hyper-reduction : Application to Incompressible Navier-Stokes Equations
Schéma ADER sur des Maillages Overset avec Transmission Compacte et Hyper-réduction : Application aux Équations de Navier-Stokes Incompressibles
Résumé
In this thesis, we propose a space-time Finite Element (FEM) / Finite Volume (FVM) scheme on moving Chimera grids for a general linear and nonlinear advection-diffusion problem. Special care is devoted to grid overlapping zones in order to devise a compact and accurate discretization stencil to exchange information between different mesh patches. Like in the ADER method, the equations are discretized on a space-time slab. Thus, instead of time-dependent spatial transmission conditions between relatively moving blocks, we define interpolation polynomials on arbitrarily intersecting space-time cells at the block boundaries. Through this scheme, a mesh-free FEM-predictor/FVM-corrector approach is employed for representing the solution. In this discretization framework, a new space-time Local Lax-Friedrichs (LLF) stabilization speed is defined by considering both the advective and diffusive nature of the equation. The numerical illustrations for linear and nonlinear systems show that background and foreground moving meshes do not introduce spurious perturbations to the solution, uniformly reaching second order of accuracy in space and time. It is shown that several foreground meshes, possibly overlapping and with independent displacements, can be employed thanks to this approach.The main application of the scheme is for the Navier-Stokes equations in order to simulate incompressible viscous flows in an evolving domain. In this case, the employed evolving space-time overset grids are able to take into account both possibly moving objects and the evolution of the domain. Since a classical fractional step method is adopted, a Poisson problem for the pressure needs to be numerically solved. For this reason, for the discretization of the gradient operator, a hybrid technique is defined which is able to automatically encode the particular local overlapping configuration at the interfaces of two blocks. This avoids a subsequent interpolation step at the interface to exchange information between different blocks. The resulting method is second order accurate for both velocity and pressure in space and time. The accuracy and efficiency of the method are tested through reference simulations.Finally, a reduced and hyper-reduced ADER scheme for general advection-diffusion equations on overset grids is presented. This scheme, based on the Proper Orthogonal Decomposition (POD) approach, allows to reduce the computational costs for both finding the numerical solution and for computing the integrals involved in the definition of the matrices of the algebraic counterpart. In an offline training stage it is built a proper reduced subspace onto which the reduced solution is later projected. Successively, in the online step, a numerical reduced solution is found with respect to a parameter defining the evolution of the domain. In order to enlighten the computational costs for performing the numerical integrals via quadrature rule, a further offline training stage is computed. It allows to define a largely small set of quadrature nodes for any admissible movement of the mesh. The approach is in a Domain Decomposition (DD) frame: consequently over the background mesh the reduced solution is recovered while in background the solution is high-fidelity. The performance of the proposed scheme is tested on both linear and nonlinear problem for different movement of the computational domain. Results show that the computational costs reduce to mathcal{O}(1) degrees of freedom by preserving the accuracy of the solution.
Dans cette thèse, nous proposons un schéma éléments finis (FEM) / volumes finis (FVM) spatio-temporel sur des grilles Chimera mobiles pour un problème général d'advection-diffusion linéaire et non linéaire. Une attention particulière est accordée aux zones de superposition des grilles afin de concevoir un stencil de discrétisation compact et précis pour échanger des informations entre les différents patchs de maillage. Comme dans la méthode ADER, les équations sont discrétisées sur un maillage spatio-temporel. Ainsi, au lieu de conditions de transmission spatiale dépendant du temps entre des blocs en mouvement relatif, nous définissons des polynômes d'interpolation sur des cellules spatio-temporelles se croisant arbitrairement aux frontières des blocs. Grâce à ce schéma, une approche FEM-prédicteur/FVM-correcteur mesh-free est utilisée pour représenter la solution. Dans ce cadre de discrétisation, une nouvelle vitesse de stabilisation locale de Lax-Friedrichs (LLF) spatio-temporelle est définie en considérant à la fois la nature advective et diffusive de l'équation. Les illustrations numériques pour les systèmes linéaires et non linéaires montrent que les mailles mobiles de background et foreground n'introduisent pas de perturbations parasites dans la solution, atteignant uniformément le deuxième ordre de précision en espace et en temps. Il est démontré que plusieurs mailles du foreground, pouvant se superposer et ayant des déplacements indépendants, peuvent être utilisées grâce à cette approche.La principale application de ce schéma concerne les équations de Navier-Stokes afin de simuler des écoulements visqueux incompressibles dans un domaine évolutif. Dans ce cas, les grilles évolutives spatio-temporelles utilisées sont capables de prendre en compte à la fois les objets éventuellement en mouvement et l'évolution du domaine. Puisqu'une méthode classique à pas fractionnaire est adoptée, un problème de Poisson pour la pression doit être résolu numériquement. Ainsi, pour la discrétisation de l'opérateur de gradient, une technique hybride est définie afin d'encoder automatiquement la configuration locale particulière de superposition aux interfaces de deux blocs. Ceci évite une étape ultérieure d'interpolation à l'interface pour échanger des informations entre différents blocs. La méthode qui en résulte est précise au second ordre pour la vitesse et la pression en espace et en temps. La précision et l'efficacité de la méthode sont testées par des simulations de référence.Enfin, un schéma ADER réduit et hyper-réduit pour les équations d'advection-diffusion générales sur des grilles overset est présenté. Ce schéma, basé sur l'approche de la Décomposition Orthogonale Propre (POD), permet de réduire les coûts de calcul à la fois pour trouver la solution numérique et pour calculer les intégrales impliquées dans la définition des matrices au niveau discret. Dans une étape d'apprentissage offline, on construit un sous-espace réduit approprié sur lequel la solution réduite est ensuite projetée. Successivement, dans l'étape online, une solution réduite numérique est trouvée par rapport à un paramètre définissant l'évolution du domaine. Afin de réduire les coûts de calcul des intégrales numériques via la règle de quadrature, une étape supplémentaire d'apprentissage offline est effectuée. Elle permet de définir un ensemble largement réduit de nœuds de quadrature pour tout mouvement admissible du maillage. L'approche se situe dans un cadre de décomposition de domaine (DD) : par conséquent, sur le maillage de foreground, la solution réduite est récupérée alors que dans le maillage de background, la solution est haute-fidélité. La performance du schéma proposé est testée sur des problèmes linéaires et non linéaires pour différents mouvements du domaine de calcul. Les résultats montrent que les coûts de calcul sont réduits à mathcal{O}(1) degrés de liberté en préservant la précision de la solution.
Origine : Version validée par le jury (STAR)