Semi classical analysis for perturbation of periodic operators

Analyse semi-classique des opérateurs périodiques perturbés

Youssef Sbai (1)

1 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux

This Ph.D thesis deals with some spectral properties of two specific classes of two periodic operators. We are firstly interested in the model periodic perturbed by operator depending on a small semi-classical constant. We obtain an asymptotic behavior of the eigenvalue counting function in the spectral gaps with scharp remainder estimate. The second model studied in this thesis is a two-dimensional periodic elliptic second order opera-tor perturbed by operator depending on a large coupling constant. We also give the description of the counting function of eigenvalues when the coupling constant tends to infinity. The last part of this thesis highlights the study the spectrum of a Schrödinger operator perturbed by a fast oscillatingdecaying potential depending on a small parameter.

Cette thèse traite de certaines propriétés spectrales de deux classes spécifiques des opérateurs périodiques. Nous nous intéressons tout d’abord à un modèle périodique perturbée par un opérateur dépendant d’un petit paramètre semi-classique. Nous obtenons alors le comportement asymptotique de la fonction du comptage des valeurs propres dans les gaps spectrales avec une estimation optimale du reste. Le second modèle étudié dans cette thèse est un modèle elliptique périodique d’ordre deux perturbée par un opérateur dépendant d’une grande constante de couplage. Nous donnons également la description de la fonction de compactage des valeurs propres lorsque la constante de couplage tend vers l’infini. La dernière partie de cette thèse discute l’étude du spectre discret de l’opérateur de Schrödinger avec un potentiel très oscillent dépendant d’un petit paramètre semi-classique.

Mots clés: Oscillating decaying potentials; Asymptotic expansions; Eigenvalues distribution; Periodic operator; Magnetic fields; Semi-Classicall limit; Large coupling constant; Density of state

Mots clés: Opérateur périodique; Champs magnétiques; Limite semi-Classique; Grandes constantes de couplage; Densité d'états; Potentiel trés oscillents; Développements asymptotiques; Distribution des valeurs propres

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Youssef Sbai. Analyse semi-classique des opérateurs périodiques perturbés. Mathématiques générales [math.GM]. Université de Bordeaux, 2015. Français. ⟨NNT : 2015BORD0270⟩. ⟨tel-01252851⟩