The Central Limit Theorem for the linear random walk on the torus and the renewal theorem in $\mathbb{R}^d$.
Le théorème central limite pour la marche linéaire sur le tore et le théorème de renouvellement dans $\mathbb{R}^d$
Résumé
The first part of this thesis deals with the random walk on the torus $\mathbb{T}^d := \mathbb{R}^d / \mathbb{Z}^d$ defined by a probability measure on $\mathrm{SL}_d(\mathbb{Z})$.
To study the Central Limit Theorem and the Law of the Iterated Logarithm, we apply Gordin's method. To do so, we use a result proved by Bourgain, Furmann, Lindenstrauss and Mozes to solve Poisson's equation at point's having good diophantine properties.
In the second part, we study the walk on $\mathbb{R}^d \setminus\{0\}$ defined by the action of $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$ and we prove a result about the rate of convergence in Guivarc'h and Le Page's renewal theorem.
La première partie de cette thèse porte sur l'étude de la marche aléatoire sur le tore $\mathbb{T}^d:=\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$ définie par une mesure de probabilité $\mathrm{SL}_d(\mathbb{Z})$.
Pour étudier le Théorème Central Limite et la loi du logarithme itéré, nous appliquons la méthode de Gordin qui consiste à se ramener à des martingales. Pour cela, nous utilisons un résultat de Bourgain, Furmann, Lindenstrauss et Mozes nous permettant de résoudre l'équation de Poisson pour des points ayant de bonnes propriétés diophantiennes.
Dans la deuxième partie, nous étudions la marche sur $\mathbb{R}^d \setminus\{0\}$ définie par l'action de $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$ et nous montrons un résultat de vitesse de convergence dans le théorème de renouvellement de Guivarc'h et Le Page.
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