Topological Quantum Error-Correcting Codes beyond dimension 2
Codes correcteurs quantiques au delà de la dimension 2
Résumé
Error correction is the set of techniques used in order to store, process and transmit information reliably in a noisy context. The classical theory of error correction is based on encoding classical information redundantly. A major endeavor of the theory is to find optimal trade-offs between redundancy, which we try to minimize, and noise tolerance, which we try to maximize.
The quantum theory of error correction cannot directly imitate the redundant schemes of the classical theory because it has to cope with the no-cloning theorem: quantum information cannot be copied. Quantum error correction is nonetheless possible by spreading the information on more quantum memory elements than would be necessary. In quantum information theory, dilution of the information replaces redundancy since copying is forbidden by the laws of quantum mechanics.
Besides this conceptual difference, quantum error correction inherits a lot from its classical counterpart. In this PhD thesis we are concerned with a class of quantum error correcting codes whose classical counterpart was defined in 1961 by Gallager. At that time quantum information was not even a research domain yet. This class is the family of low density parity check (LDPC) codes. Informally a code is said to be LDPC if the constraints imposed to ensure redundancy in the classical setting or dilution in the quantum setting are local.
More precisely this PhD thesis focuses on a subset of the LDPC quantum error correcting codes: the homological quantum error correcting codes. These codes take their name from the mathematical field of homology, whose objects of study are sequences of linear maps such that the kernel of a map contains the image of its left neighbour. Originally introduced to study the topology of geometric shapes, homology theory now encompasses more algebraic branches as well, where the focus is more abstract and combinatorial. The same is true of homological codes: they were introduced in 1996 by Kitaev with a quantum code that has the shape of a torus. They now form a vast family of quantum LDPC codes, some more inspired from geometry than others. Homological quantum codes have been designed from spherical, Euclidean and hyperbolic geometries, from 2-dimensional and 4-dimensional objects, from objects with increasing and unbounded dimension and from hypergraph or homological products.
After we introduce some general quantum information concepts in the first chapter of this manuscript, we focus in the two following ones on families of quantum codes based on 4-dimensional hyperbolic objects. We highlight the interplay between their geometric side, given by manifolds, and their combinatorial sides, given by abstract polytopes. We use both sides to analyze the corresponding quantum codes. In the fourth and last chapter we analyze a family of quantum codes based on spherical objects of arbitrary dimension. To have more flexibility in the design of quantum codes, we use combinatorial objects that realize this spherical geometry: hypercube complexes. This setting allows us to introduce a new link between classical and quantum error correction where classical codes are used to introduce homology in hypercube complexes.
La correction d'erreur est l'ensemble des techniques utilisées pour stocker, processer et transmettre de l'information de façon fiable dans un environnement bruité. La théorie de la correction d'erreur classique est fondée sur l'encodage redondant de l'information. L'un des buts principaux de cette théorie est de trouver des compromis optimaux entre la redondance, qu'on essaie de minimiser, et la tolérance au bruit, qu'on essaie de maximiser.
La théorie quantique de la correction d'erreur ne peut pas directement imiter les schémas redondants de la théorie classique parce qu'elle doit faire avec le théorème de non-clonage: l'information quantique ne peut pas être copiée. La correction d'erreur quantique est néanmoins possible en répartissant l'information sur un plus grand nombre d'éléments de mémoire quantique que nécessaire. Dans la théorie de l'information quantique, la dilution de l'information remplace la redondance parce que la copie est interdite par les lois de la mécanique quantique.
Au delà de cette différence conceptuelle, la correction d'erreur quantique a beaucoup hérité de son équivalent classique. Dans cette thèse nous nous intéressons à une classe de codes correcteurs quantiques dont l'équivalent classique a été définie en 1961 par Gallager. A cette époque l'information quantique n'était même pas encore un domaine de recherche. Cette classe est la famille des codes LDPC (low density parity check). De façon informelle un code est dit LDPC si les contraintes imposées pour assurer la redondance dans le cas classique ou la dilution dans le cas quantique sont locales.
Plus précisément cette thèse se concentre sur un sous-ensemble des codes correcteurs quantiques LDPC: les codes correcteurs quantiques homologiques. Ces codes tiennent leur nom du domaine mathématique de l'homologie, dont les objets d'étude sont des suites d'applications linéaires telles que le noyau d'une application contienne l'image de son voisin de gauche. Initialement introduite pour étudier la topologie de formes géométriques, la théorie de l'homologie comprend maintenant également des branches plus algébriques, dont le centre d'intérêt est plus abstrait et combinatoire. Les codes homologiques ont suivi la même trajectoire: ils ont été introduits en 1996 par Kitaev avec un code quantique qui a la forme d'un tore. Ils forment maintenant une vaste famille de codes quantiques LDPC, certains plus inspirés de formes géométriques que d'autres. Des codes quantiques homologiques ont été construits à partir de géométries sphériques, euclidiennes et hyperboliques, à partir d'objets de dimension 2 et de dimension 4, à partir d'objets de dimension croissante et non bornée et à partir de produits d'hypergraphes et homologiques.
Après avoir introduit des concepts généraux de l'information quantique dans le premier chapitre de cette thèse, nous nous concentrons dans les deux chapitres suivants sur des familles de code quantique fondée sur des objets hyperboliques de dimension 4. Nous insistons sur l'interconnexion entre leur côté géométrique, donné par des variétés, et leur côté côté combinatoire, donné par des polytopes abstraits. Nous utilisons ces deux aspects pour analyser les codes quantiques correspondants. Dans le quatrième et dernier chapitre nous analysons une famille de codes quantiques fondée sur des objets sphériques de dimension quelconque. Pour avoir plus de flexibilité dans la construction de codes quantiques, nous utilisons des objets combinatoires qui réalisent cette géométrie sphérique: des hypercubes. Ce contexte nous permet d'introduire un nouveau lien entre corrections d'erreur classique et quantique où des codes classiques sont utilisés pour introduire de l'homologie dans les hypercubes.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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