Théorème d'Eilenberg-Zilber en homologie cyclique entière

Anne Bauval (1)

1 IMT - Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219

For simplicial modules, Eilenberg-Zilber's classical theorem states the existence of a product $sh : M\otimes N\to M\times N$ (the shuffle) and a coproduct $AW : M\times N\to M\otimes N$ (the Alexander-Whitney map), which are quasi-inverse of eachother. A cyclic version of this theorem was established in 1987 by Hood and Jones: they proved that $sh$ and $AW$ admit "coextensions" $sh_\infty$ and $AW_\infty$, using an acyclic-model method. Besides, an explicit formula for $sh_\infty$ has been discovered by several authors. But the question remained open of such an explicit formula for $AW_\infty$, and for the homotopies by which $sh_\infty$ and $AW_\infty$ are mutual quasi-inverses and are quasi-(co)-associative. We present a complete answer to this problem and show that all these -- now explicit -- maps extend continuously to entire cyclic complexes (associated to normed algebras).

Pour des modules simpliciaux, le théorème d’Eilenberg-Zilber classique énonce l’existence d’un produit $sh : M\otimes N\to M\times N$ (le shuffle) et d’un coproduit $AW : M\times N\to M\otimes N$ (l’application d’Alexander-Whitney), quasi-inverses. Une version cyclique de ce théorème a été établie en 1987 par Hood et Jones, prouvant l’existence de “coextensions” $sh_\infty$ et $AW_\infty$, par une méthode de modèles acycliques. Par ailleurs, une formule explicite pour $sh_\infty$ a été découverte par divers auteurs. Nous résolvons le problème restant : expliciter de même $AW_\infty$, ainsi que les homotopies par lesquelles $sh_\infty$ et $AW_\infty$ sont quasi-inverses et quasi-(co)-associatifs, puis montrons que toutes les applications explicitées s'étendent continüment aux complexes cycliques entiers (associés à des algèbres normées).

Domaines: Mathématiques [math]; Topologie algébrique [math.AT]

Anne Bauval. Théorème d'Eilenberg-Zilber en homologie cyclique entière. 1998. ⟨hal-01976673⟩