Multivariate scale-free temporal dynamics: From spectral (Fourier) to fractal (wavelet) analysis

Patrice Abry (1) , Herwig Wendt (2, 3) , Stéphane Jaffard (4) , Gustavo Didier (5)

1 Phys-ENS - Laboratoire de Physique de l'ENS Lyon
2 IRIT-MINDS - CoMputational imagINg anD viSion
3 CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique
4 LAMA - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
5 Tulane University

The Fourier transform (or spectral analysis) has become a universal tool for data analysis in many different real-world applications, notably for the characterization of temporal/spatial dynamics in data. The wavelet transform (or multiscale analysis) can be regarded as tailoring spectral estimation to classes of signals or functions defined by scale-free dynamics. The present contribution first formally reviews these connections in the context of multivariate stationary processes, and second details the ability of the wavelet transform to extend multivariate scale-free temporal dynamics analysis beyond second-order statistics (Fourier spectrum and autocovariance function) to multivariate self-similarity and multivariate multifractality. Illustrations and qualitative discussions of the relevance of scale-free dynamics for macroscopic brain activity description using MEG data are proposed

La transformée de Fourier (ou analyse spectrale) est aujourd'hui devenue un outil universel pour l'analyse de données issues de nombreuses applications réelles de natures très différentes, particulièrement pertinent pour la caractérisation de la dynamique temporelle ou spatiale. La transformée en ondelettes (ou analyse multéchelle) peut être vue comme une analyse spectrale adaptée à des classes de signaux ou fonctions dont la dynamique est invariante d'échelle. La présente contribution propose d'abord de faire un état de l'art des relations formelles entre ces deux analyses dans le cadre des processus aléatoires stationaires multivariés, puis de montrer la capacité de la transformée en ondelettes à étendre l'analyse de l'invariance d'échelle multivariée au-delà des statistiques de second ordre (fonction de covariance et spectre de Fourier), à l'auto-similarité multivariée et à la multifractalité multivariée. Quelques illustrations et éléments de discussion sur la pertinence de ces concepts et outils pour l’analyse de l’activité cérébrale macroscopiques ont proposés.

Mots clés: wavelet transform; Multivariate signals; Scale-free dynamics; Multifractality; Fourier transform; Self-similarity

Mots clés: Signaux multivariés; transformée en ondelettes; Transformée de Fourier; Multifractalité; Auto-similarité; Dynamique invariante d'échelle

Domaines: Traitement du signal et de l'image [eess.SP]

Patrice Abry, Herwig Wendt, Stéphane Jaffard, Gustavo Didier. Multivariate scale-free temporal dynamics: From spectral (Fourier) to fractal (wavelet) analysis. Comptes Rendus. Physique, 2019, 20 (5), pp.489-501. ⟨10.1016/j.crhy.2019.08.005⟩. ⟨hal-02346492⟩