Analyse non lisse : - Fonction d'appui de la Jacobienne généralisée de Clarke et de son enveloppe plénière - Quelques applications aux équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre (fonctions de Hopf-Lax, Hamiltoniens diff. convexes, solutions sci)
Résumé
The work we present in this manuscript is divided into two parts. The first part deals with the calculus of the support functions of Clarke's generalized jacobian and of its plenary hull, associated with a locally Lipschitz continuous mapping with range in \R^m. In 1975, Clarke established that the support function of his generalized subdifferential was a generalized directional derivative. It is therefore satisfactory to prove that the support function of the generalized jacobian is a ``generalized directional divergence''. The second part deals with several results concerning the application of methods from Nonsmooth analysis to first order Hamilton-Jacobi equations. Techniques such as convex duality or subdifferential calculus are used to prove that Hopf-Lax formulae provide explicit solutions of the associated Hamilton-Jacobi equation. We use neither the famous comparison principle from viscosity solution theory nor regularization procedures. The finite and the infinite dimensional cases are treated successively. These results are applied to get estimates for solutions of Hamilton-Jacobi equations whose hamiltonians are differences of convex functions. The last part is devoted to the construction of a lower semicontinuous solution of a Hamilton-Jacobi equation whose hamiltonian is the supremum of a parametric family of hamiltonians H(x,u,p) that are convex in p. We use the same techniques to prove the existence of a minimal lsc solution for Hamilton-Jacobi equations under weaker assumptions than the ones found in the traditional viscosity solution theory.
Le travail présenté dans ce mémoire est divisé en deux parties. La première partie est consacrée aux calculs des fonctions d'appui de la Jacobienne généralisée de Clarke et de son enveloppe plénière, associées à une fonction localement lipschtizienne à valeurs vectorielles. Clarke avait établi en 1975 que la fonction d'appui du sous-différentiel généralisé était une dérivée directionnelle généralisée. Il est donc satisfaisant de constater que la fonction d'appui de la Jacobienne généralisée est une sorte de "divergence directionnelle généralisée". Dans la seconde partie, nous présentons un certain nombre d'applications de techniques issues de l'Analyse non lisse à la résolution d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ainsi nous utilisons la dualité convexe et le calcul sous-différentiel pour prouver que les formules dites de Hopf-Lax définissent des solutions explicites des équations de Hamilton-Jacobi associées (avec données initiales semicontinues inférieurement). Nous n'utilisons ni le fameux principe de comparaison de la théorie des solutions de viscosité ni régularisation. Nous traitons successivement le cas de la dimension finie et de la dimension infinie. Ces résultats nous permettent de trouver des estimations des solutions d'équations dont l'hamiltonien est la différence de deux fonctions convexes. Enfin, nous nous attachons à l'étude des solutions sci dans des espaces de Banach dits ``lisses''. Le théorème de la valeur moyenne de Clarke et Ledyaev nous permet de montrer un résultat d'``enveloppe'' : nous construisons une solution sci pour une équation dont l'hamiltonien est le supremum d'une famille d'hamiltoniens. Nous appliquons enfin les mêmes techniques pour prouver l'existence d'une solution sci minimale sous des hypothèses plus faibles que celles que l'on recontre généralement dans la littérature.
Loading...