Inégalités fonctionnelles liées aux formes de Dirichlet. De l'isopérimétrie aux inégalités de Sobolev.

Pierre Fougères (1)

1 LSP - Laboratoire de Statistique et Probabilités

Ergodic Markov semigroups provide approximations of probability measures by means of some functional inequalities. The aim of the thesis is to investigate some of these inequalities, from isoperimetry to Sobolev inequalities. What we are essentially interested in is to establish some links between these inequalities, to determine their optimal constants and to get some criteria which ensure their existence. Three main issues were investigated. Firstly we examine the links between logarithmic Sobolev inequality (LS) and Bobkov Gaussian isoperimetric inequality (BGI). It is shown that semigroups whose curvature is bounded from below (by a possibly negative number) and which satisfy (LS) also satisfy a (BGI) inequality. We hence get a (BGI) inequality for some spins systems. In the second part, we prove that the exact order of the Poincaré constant for a log-concave probability measure on the real line is given by the square of the mean value of the distance to the median. The proof is based on a variation computation in the set of convex functions. The final part of the work is devoted to establishing new criteria for Sobolev inequalities when the Bakry-Emery curvature-dimension (CD) criterion fails. The way we use is based on the construction (by means of conformal changes of metric and tensorization) of a Dirichlet structure in a higher dimension which satisfy a (CD) inequality and projects onto the initial structure in the lower dimension.

Les semi-groupes de Markov ergodiques permettent d'approcher des mesures de probabilité au moyen d'inégalités fonctionnelles. L'objectif de la thèse est l'étude de certaines de ces inégalités, de l'isopérimétrie gaussienne aux inégalités de Sobolev. Nous cherchons essentiellement à établir des liens entre elles, à déterminer leurs constantes optimales et à obtenir des critères assurant leur existence. Le travail est divisé en trois parties. Dans la première , nous nous intéressons aux liens entre les inégalités de Sobolev logarithmiques (SL) et celles d'?isopérimétrie gaussienne de Bobkov (IGB). Nous montrons qu'?un semi-groupe de courbure minorée (éventuellement négative) qui satisfait à (SL) vérifie également une inégalité (IGB). Nous obtenons ainsi une inégalité (IGB) pour certains systèmes de spins. Dans la seconde partie, nous montrons que la constante de Poincaré d'une mesure de probabilité log-concave sur la droite réelle est universellement comparable au carré de la distance moyenne à la médiane. La preuve repose sur un calcul de variations dans l'ensemble des fonctions convexes. La dernière partie est consacrée à de nouveaux critères conduisant aux inégalités de Sobolev lorsque le critère de courbure-dimension (CD) de Bakry et Emery est mis en défaut. La technique utilisée repose sur la construction (au moyen de changements conformes de métrique et tensorisation) d?'une structure de Dirichlet en dimension supérieure qui satisfait un critère (CD) et se projette sur la structure de départ.

Mots clés: Inégalité de Sobolev. Inégalité de Sobolev logarithmique . Inégalités isopérimétriques fonctionnelles. Concentration de la mesure. Inégalité de Poincaré. Trou spectral. Semi-groupes de Markov. Formes de Dirichlet. Mécanique statistique. Mesures log-concaves.; Inégalité de Sobolev. Inégalité de Sobolev logarithmique . Inégalités isopérimétriques fonctionnelles. Concentration de la mesure. Inégalité de Poincaré. Trou spectral. Semi-groupes de Markov. Formes de Dirichlet. Mécanique statistique. Mesures log-concaves

Domaines: Mathématiques [math]

Pierre Fougères. Inégalités fonctionnelles liées aux formes de Dirichlet. De l'isopérimétrie aux inégalités de Sobolev.. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2002. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00002624⟩