Propriétés extrémales et caractéristiques des exemples de Lattès
Résumé
In the first part of the thesis, we characterize the Lattès examples among the holomorphic endomorphisms of CP(k) by the absolute continuity of the measure of maximal entropy. This implies a characterization of the Lattès examples in terms of the Lyapounoff exponents of this measure. These results show that, generically, the maximal entropy measure of a holomorphic endomorphismof CP(k) is not absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure, and at least one of its exponents is strictly larger than log d /2. This solves a question asked by Fornaess and Sibony. The characterization of the Lattès examples by their maximal entropy measure is based on a renormalization principle. The proof use th pluripotentialist interpretation of this measure as a Monge-Ampère mass. The second part is devoted to the study of the attracting basin of the origin for the polynomial lifts of Lattès examples. We show that the boundary of these domains is a quotient of a compact spherical hypersurface. These domains are surprising, because they are very close to the euclidian ball, and admit non injective self proper holomorphic maps. We get the desingularization of the boundary of the attracting basin in a line bundle over a torus, thanks to theta functions. We describe the singularities that appear by using some elements of invariant theory.
Dans la première partie de la thèse, nous caractérisons les exemples de Lattès parmi les endomorphismes holomorphes de CP(k) par l'absolue continuité de leur mesure d'entropie maximale. Il s'ensuit une caractérisation des exemples de Lattès en terme d'exposants de Lyapounoff de cette mesure. Ces résultats montrent que, génériquement, la mesure d'entropie maximale d'un endomorphisme holomorphe de degré d de CP(k) n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue (elle est par conséquent singulière, en vertu de son ergodicité), et que l'un au moins de ses exposants est strictement plus grand que log d /2. Ceci répond à une question posée par Fornaess et Sibony. La caractérisation des exemples de Lattès par leur mesure d'entropie maximale repose sur un principe de renormalisation, dont l'élaboration utilise l'interprétation pluripotentialiste de cette mesure comme masse de Monge-Ampère. Le passage de la minimalité des exposants à l'absolue continuité fut établi par Ledrappier en dimension 1, et relève de la théorie ergodique. Les arguments en dimension plus grande que un sont les mêmes. La seconde partie est consacrée à l'étude du bassin d'attraction de l'origine des relevés polynomiaux des exemples de Lattès. Nous montrons que le bord de ces domaines se désingularise explicitement en une hypersurface sphérique compacte. Ces domaines sont donc assez surprenants, puisqu'ils sont proches de la boule euclidienne et admettent des auto-applications holomorphes propres non injectives. Nous construisons la désingularisation du bord du bassin d'attraction dans un fibré en droites au dessus d'un tore, à l'aide de fonctions theta. La description des singularités s'obtient alors grace à quelques éléments de la théorie des invariants.