Contribution to the study of the Schrödinger equation : inverse problem in a bounded domain and bilinear optimal control of an Hartree-Fock equation.
Contributions à l'étude de l'équation de Schrödinger : problème inverse en domaine borné et contrôle optimal bilinéaire d'une équation de Hartree-Fock
Résumé
This thesis deals with some properties of the time dependent Schrödinger equation. On the one hand, we study an inverse problem about this equation set in a bounded domain, with time independent potential and Dirichlet boundary data. Using a Carleman estimate, we prove the well-posedness of the inverse problem of determining the potential from measurements of the normal derivative of the solution through a part of the boundary. On the other hand, we consider a Schrödinger equation set in $\mathbb R^3$ with a coulombian potential, locally singular, and an electric unbounded potential, both depending on space and time variables. We prove the existence of a unique solution, as regular as the initial data, for the linear equation and for an equation with Hartree nonlinearity. This is a first step for the study of a system where this Hartree-Fock equation is coupled with classical newtonian dynamics. Eventually, we consider bilinear optimal control problems of the solution of these different equations, the control being performed by the external electric potential. We prove the existence of optimal controls and give optimality conditions in the suitable cases.
L'objet de cette thèse est l'étude de quelques propriétés de l'équation d'évolution de Schrödinger. Dans un premier temps, on s'intéresse à un problème inverse concernant cette équation posée en domaine borné, avec potentiel, lequel dépend uniquement de la variable d'espace, et donnée de Dirichlet sur le bord. On démontre, à l'aide d'une inégalité de Carleman, que le problème inverse de la détermination du potentiel à partir de la mesure du flux de la solution à travers une partie du bord est un problème bien posé. Dans un deuxième temps, il est question de l'équation de Schrödinger considérée dans $\mathbb R^3$ avec un potentiel coulombien, localement singulier, et un potentiel électrique non borné, tous deux dépendant des variables d'espace et de temps. On montre successivement l'existence d'une unique solution régulière pour l'équation linéaire et pour l'équation avec non-linéarité de Hartree. Ce sont des étapes préliminaires à l'étude d'un système couplant à travers le potentiel coulombien, cette équation de Hartree-Fock et une équation issue de la dynamique newtonienne. Les résultats obtenus ici sont indispensables à l'étude finale des problèmes de contrôle optimal bilinéaire posés à partir de ces différentes équation, le contrôle de la solution étant effectué par le potentiel électrique. On démontre l'existence d'un contrôle optimal et on donne la condition d'optimalité correspondante dans les cas appropriés\vspace(0,5cm)
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