Construction of minimal surfaces by solving the Dirichlet Problem
Construction de surfaces minimales par résolution du problème de Dirichlet
Résumé
This Ph.D. thesis deals with the theory of minimal surfaces. In 2001, C. Cosin and A. Ros show that, if a polygon bounds an immersed disk, this polygon is the flux polygon of a symmetric Alexandrov-embedded r-noid with genus 0. Their proof is based on the study of the space of these minimal surfaces. Our work gives a more constructive proof of their result. Our method is based on the solving of the Dirichlet problem for the minimal surface equation. To this end, we study the convergence of sequences of the equation's solutions. We define the lines of divergence which are the points where the gradients' sequence is unbounded. The study of these lines allows us to conclude on the sequences' convergence. The r-noids are then build as the conjugate surfaces to the graphs of Dirichlet problem's solutions on domains fixed by the polygons. In a second part, we show that, under the "immersed disk bounding" hypothesis, a polygon is also the flux polygon of a genus 1 symmetric Alexandrov-embedded r-noid. The proof is based on the same ideas as the first result, however it requires the solving of a period problem. This solving uses the study of the limit behaviour of some minimal surfaces sequences.
Le cadre de cette thèse est la théorie des surfaces minimales. En 2001, C. Cosin et A. Ros démontrent que, si un polygone borde un disque immergé, ce polygone est le polygone de flux d'un r-noide Alexandrov-plongé symétrique de genre 0. Leur démonstration se fonde sur l'étude de l'espace de ces surfaces minimales. Notre travail présente une démonstration plus constructive de leur résultat. Notre méthode repose sur la résolution du problème de Dirichlet pour l'équation des surfaces minimales. A cette fin, nous étudions la convergence de suites de solutions de cette équation. Nous définissons la notion de lignes de divergence de la suite qui sont les points ou la suite des gradients est non-bornées. L'étude de ces lignes permet de conclure sur la convergence d'une suite. Les r-noides sont alors construits comme les surfaces conjuguées aux graphes de solutions du problème de Dirichlet sur des domaines fixés par les polygones. Dans une seconde partie, nous montrons que, sous l'hypothèse de border un disque immergé, un polygone est aussi le polygone de flux d'un r-noide Alexandrov-plongé symétrique de genre $1$. La démonstration repose sur une amélioration des idées de celle du premier résultat, elle nécessite entre autre la résolution d'un problème de période. Cette résolution passe par l'étude du comportement limite de certaines suites de surfaces minimales.