Derivation of diffusion models from kinetic equations. Modelling, mathematical analysis and simulation
Obtention de modèles de diffusion à partir d'équations cinétiques. Modélisation, étude mathématique et simulation
Résumé
This thesis deals with the modelling of electron transport in semiconductors. Diffusion models are commonly used (Drift Diffusion models), but they are not accurate enough for small scales (nanometric semiconductors) and for systems out of equilibrium (transient regimes). Though very precise, kinetic models generally prove too numerically costly to allow for the description of physically realistic situations. Spherical Harmonics Expansion (SHE) models are interesting intermediate models between these two classes of models. SHE models are diffusion models in the position-energy space and are theoretically fitted to the modelling of particle systems close to an equilibrium (non necessarily a Maxwellian equilibrium though, unlike Drift Diffusion models), the thermalization of which is due to elastic collisions. In this thesis, coupled SHE models have been proposed to model particles interacting inelastically with the surrounding medium. A coupled SHE model is introduced to describe electron-phonon interactions in semiconductors. Another coupled SHE model is proposed to model situations where diffusion is generated by particle-wall collisions (between electrons and the frontier of the device, for instance). A numerical study shows that SHE and coupled SHE type models give a reliable description of reality (fitting to kinetic descriptions), even when strongly inelastic collisions are considered. Finally, a hierarchy of quantum SHE models is given for the description of very small length scale systems, when electron transport as well as interactions with the device are governed by quantum mechanics. These models dissipate a quantum entropy.
Cette thèse porte sur la modélisation du transport électronique dans les semi-conducteurs. Des modèles de diffusion sont couramment utilisés (modèles de type Dérive Diffusion), mais ils s'avèrent imprécis pour de petites échelles (composants nanométriques) et des systèmes hors équilibre (régimes transitoires). Les modèles cinétiques, très précis, sont généralement trop coûteux en temps de calcul pour permettre une utilisation dans des contextes physiques réalistes. Les modèles Spherical Harmonics Expansion (SHE) représentent un intermédiaire intéressant entre ces deux types de modèles. Les modèles SHE sont des modèles de diffusion dans l'espace position-énergie qui sont théoriquement adaptés à la modélisation de systèmes de particules proches de l'équilibre (mais pas forcément d'un équilibre Maxwellien, contrairement aux modèles de Dérive Diffusion), la thermalisation étant le fait de collisions de type élastique. Dans cette thèse, nous avons proposé des modèles de type SHE couplé qui permettent de modéliser des particules interagissant avec le milieu environnant de façon inélastique. Un modèle SHE couplé est introduit pour décrire les interactions entre électrons et phonons dans les semi-conducteurs. Un autre modèle de type SHE couplé est proposé pour modéliser des situations où la diffusion est engendrée par des collisions entre les particules considérées (électrons par exemple) et les parois du matériau dans lequel elles évoluent. Une étude numérique montre que les modèles de type SHE et SHE couplé donnent une représentation fidèle de la réalité (montrant de faibles différences avec des modèles cinétiques), même lorsque les collisions considérées sont fortement inélastiques. Enfin, nous proposons une hiérarchie de modèles SHE quantiques pour la description de systèmes de très petite échelle, lorsque le transport électronique aussi bien que les interactions avec le milieu sont régies par la mécanique quantique. Ces modèles dissipent une entropie quantique.
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