Moduli stacks of linear and abelian categories
Champs de modules des catégories linéaires et abéliennes
Résumé
Linear categories naturally have several identification relations : isomorphisms, categorical equivalences and Morita equivalences. In this thesis, we construct the classifying stacks for these three relations ($\ukcatiso$, $\ukcateq$, $\ukcatmor$) together with the classifying stack of abelian categories ($\ukab$), the originality of the subject being that, apart from the first one, these are higher stacks.
The principal result is that, under some finiteness assumptions, these stacks are geometric in the sense of C.~Simpson. In particular, one recover the Hochschild cohomology of a category $C$ as the tangent complex, i.e. the object classifying first order deformations of $C$, of these stacks at the point defined by $C$.
Moreover, there exists a natural sequence of surjective morphisms of stacks :
$$\ukcatiso \tto \ukcateq \tto \ukcatmor \tto \ukab$$
for which we prove that the middle one is etale, and the right one is an equivalence.
The principal result is that, under some finiteness assumptions, these stacks are geometric in the sense of C.~Simpson. In particular, one recover the Hochschild cohomology of a category $C$ as the tangent complex, i.e. the object classifying first order deformations of $C$, of these stacks at the point defined by $C$.
Moreover, there exists a natural sequence of surjective morphisms of stacks :
$$\ukcatiso \tto \ukcateq \tto \ukcatmor \tto \ukab$$
for which we prove that the middle one is etale, and the right one is an equivalence.
Les catégories linéaires ont naturellement plusieurs notions d'identification : l'isomorphie, l'équivalence de catégories et l'équivalence de Morita. On construit les champs classifiant les catégories pour ces trois structures ($\ukcatiso$, $\ukcateq$, $\ukcatmor$) ainsi que le champ classifiant les catégories abéliennes ($\ukab$), l'originalité étant que les trois derniers champs sont des champs supérieurs.
Le résultat principal de la thèse est que, sous des conditions de finitude des objets classifiés, ces champs sont géométriques au sens de C.~Simpson. En particulier, on trouve que les complexes tangents de ces champs en une catégorie $C$, i.e. les objets classifiant les déformations au premier ordre de $C$, sont donnés par des tronqués du complexe de cohomologie de Hochschild de $C$.
En plus, il existe une suite naturelle de morphismes surjectifs de champs :
$$\ukcatiso \tto \ukcateq \tto \ukcatmor \tto \ukab$$
dont on montre que celui du milieu est étale, et celui de droite une équivalence.
Le résultat principal de la thèse est que, sous des conditions de finitude des objets classifiés, ces champs sont géométriques au sens de C.~Simpson. En particulier, on trouve que les complexes tangents de ces champs en une catégorie $C$, i.e. les objets classifiant les déformations au premier ordre de $C$, sont donnés par des tronqués du complexe de cohomologie de Hochschild de $C$.
En plus, il existe une suite naturelle de morphismes surjectifs de champs :
$$\ukcatiso \tto \ukcateq \tto \ukcatmor \tto \ukab$$
dont on montre que celui du milieu est étale, et celui de droite une équivalence.
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