Sur la robustesse des systèmes linéaires incertains : approche quadratique, retour de sortie
Résumé
In this thesis, robust control of linear systems with parametric uncertainty is considered. The approach developed relies on the quadratic stability concept which is based on the quest for and exploitation of Lyapunov functions quadratic with respect to the state. This thesis, particularly, focuses on the design of dynamic output feedback controllers, that is, controllers based on the treatment of the information available in the measured output of the system. Also, focus is placed on the parametric polyhedric type of uncertainty in the model (interval matrices). A brief review of some of the results on state feedback robust control by the quadratic approach provides the essential elements to formally introduce the dynamic output feedback control problem for uncertain systems : structured and unstructured uncertainty. Some known results for ¿norm bounded¿ unstructured uncertain systems are recalled and original results in the form of necessary conditions and sufficient conditions are presented. It is shown that polyhedric uncertain is the extreme case of norm bounded structured uncertainty. In the face of polyhedric uncertainty, an iterative algorithm to determine a Luenberger type dynamic output feedback is proposed. The algorithm takes advantage of the biconvex nature of the sufficient condition of quadratic stability with respect to the control law and to the Lyapunov function. This result allows, similarly, the computation of a (maximum) uncertain domain (some sort of gain margin of the compensator). These results, originally developed for continuous systems, are later extended to uncertain discrete linear systems and to the pole placement in circular regions of the ¿s-plane¿, this latter whit high practical interest since it allows manipulation of the dynamics of the controlled system. Other (robust) performance measures are taken into consideration : H2 (quadratic criteria) and H¿ (worst case) with the same quadratic approach.
Le travail concerne la commande robuste de systèmes linéaires à modèle incertain et incertitude paramétrique. L'approche développée est l'approche quadratique se basant sur la recherche et l'exploitation de fonctions de Lyapunov quadratiques en l'état. La partie la plus originale des travaux est relative à la commande par retour de sortie, c'est à dire celle basée sur un traitement de l'information contenue dans les mesures disponibles effectivement sur l'état du système et pour le cas d'incertitudes paramétriques polyédriques (cas de matrices intervalle). Une synthèse portant sur la commande robuste par retour d'état dans l'approche quadratique fournit les éléments essentiels pour la formalisation du problème de commande par retour de sortie : incertitudes non structurées et structurées. Le cas des systèmes à incertitude structurée (cas pour lequel demeure encore un besoin de résultats ¿forts¿) est abordé, après un rappel de quelques résultats concernant les cas d'incertitude ¿bornée en norme¿ non structurée pour laquelle existent des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité, de nouveaux résultats sont énoncés pour le cas d'incertitude bornée en norme structurée sous la forme de conditions nécessaires et de conditions suffisantes. Il est montré que le cas de l'incertitude polyédrique est un cas extrême d'incertitude bornée en norme structurée. Ce dernier cas présente un degré de complexité important et, pour ce cas, un algorithme itératif pour le calcul d'un retour de sortie dynamique du type observateur de Luenberger est présenté. Le résultat obtenu permet également d'aborder le problème de la détermination du domaine d'incertitude (maximal). Ayant été développés pour les systèmes dynamiques en temps continu, les résultats obtenus sont étendus au cas des systèmes dynamiques en temps discret, résolvant par là même, le problème de la commande robuste avec placement des modes dans une régio n circulaire (problème d'intérêt pratique car permettant la maîtrise de la dynamique du système commandé). Enfin, dans la thèse le problème de la synthèse de commandes robustes avec critères de performance de type H2 (critère quadratique) ou H¿ (cas le plus défavorable) permettant (entre autres) de traiter le problème de rejet de perturbations est abordée.