Modeling Default Risk
Modélisation du risque de défaut en entreprise
Résumé
In the first part of this thesis, we study some optimal stopping time problems of the form :
$ sup_{\tau\in \Delta, \tau\geq 0} \esp_v\left[g(V_{\tau})\right] \hbox{~or}~
sup_{\tau\in \Delta, \tau\geq 0} \esp_v\left[e^{-r\tau}\bar{g}(V_{\tau})\right],$
where $V$ is a stochastic process, $g$ and $\bar{g}$ two Borelian functions, $r>0$ and $\Delta$ is the set of
$\F^V_.$-stopping times ($\F^V$ being the filtration generated by the process $V$). These problems can be applied in Finance, Economy or Medicine.
In the first part of this thesis we show that sometimes the smallest optimal stopping time is a hitting time. That's why, in the second part we study the hitting time law of a Lévy jump process. Some applications to finance are given : we compute the intensity of this stopping time associated with some filtration $\F$. Two cases are presented : when the stopping time is a $\F$-stopping time and when it is not.
$ sup_{\tau\in \Delta, \tau\geq 0} \esp_v\left[g(V_{\tau})\right] \hbox{~or}~
sup_{\tau\in \Delta, \tau\geq 0} \esp_v\left[e^{-r\tau}\bar{g}(V_{\tau})\right],$
where $V$ is a stochastic process, $g$ and $\bar{g}$ two Borelian functions, $r>0$ and $\Delta$ is the set of
$\F^V_.$-stopping times ($\F^V$ being the filtration generated by the process $V$). These problems can be applied in Finance, Economy or Medicine.
In the first part of this thesis we show that sometimes the smallest optimal stopping time is a hitting time. That's why, in the second part we study the hitting time law of a Lévy jump process. Some applications to finance are given : we compute the intensity of this stopping time associated with some filtration $\F$. Two cases are presented : when the stopping time is a $\F$-stopping time and when it is not.
Dans une première partie, on étudie quelques problèmes d'arrêt optimal de la forme
$sup_{\tau\in \Delta, \tau\geq 0} \esp_v\left[g(V_{\tau})\right] \hbox{~ou}~
sup_{\tau\in \Delta, \tau\geq 0} \esp_v\left[e^{-r\tau}\bar{g}(V_{\tau})\right],$
où $V$ est un processus stochastique, $g$ et $\bar{g}$ deux fonctions boréliennes, $r>0$ et $\Delta$ est l'ensemble des $\F^V$-temps d'arrêt ($\F_.^V$ étant la filtration engendrée par le processus $V$).
L'étude de ces problèmes est motivée par les applications dans plusieurs domaines comme la finance, l'économie ou la médecine.
La première partie est une mise en évidence du fait que le plus petit temps d'arrêt optimal est parfois un temps d'atteinte. C'est pourquoi, dans la deuxième partie de la thèse, on s'intéresse à la loi d'un temps d'atteinte d'un processus de Lévy à sauts ainsi qu'à quelques applications à la finance, plus précisément lors du calcul de l'intensité de ce temps d'arrêt associée à une certaine filtration $\F$. Deux cas sont présentés : quand le temps d'arrêt est un $\F$-temps d'arrêt et quand il ne l'est pas.
$sup_{\tau\in \Delta, \tau\geq 0} \esp_v\left[g(V_{\tau})\right] \hbox{~ou}~
sup_{\tau\in \Delta, \tau\geq 0} \esp_v\left[e^{-r\tau}\bar{g}(V_{\tau})\right],$
où $V$ est un processus stochastique, $g$ et $\bar{g}$ deux fonctions boréliennes, $r>0$ et $\Delta$ est l'ensemble des $\F^V$-temps d'arrêt ($\F_.^V$ étant la filtration engendrée par le processus $V$).
L'étude de ces problèmes est motivée par les applications dans plusieurs domaines comme la finance, l'économie ou la médecine.
La première partie est une mise en évidence du fait que le plus petit temps d'arrêt optimal est parfois un temps d'atteinte. C'est pourquoi, dans la deuxième partie de la thèse, on s'intéresse à la loi d'un temps d'atteinte d'un processus de Lévy à sauts ainsi qu'à quelques applications à la finance, plus précisément lors du calcul de l'intensité de ce temps d'arrêt associée à une certaine filtration $\F$. Deux cas sont présentés : quand le temps d'arrêt est un $\F$-temps d'arrêt et quand il ne l'est pas.