Infinitesimal freeness and deformed matrix models

Liberté infinitésimale et modèles matriciels déformés

Maxime Fevrier (1)

1 IMT - Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219

This thesis is about Random Matrix Theory and Free Probability whose strong relation is known since the early nineties. The results mainly organize in two parts : one on infinitesimal freeness, the other on deformed matrix models. More precisely, a combinatorial theory of first order infinitesimal freeness, as introduced by Belinschi and Shlyakhtenko, is developed and generalized to higher order. We give a simple and general framework and we introduce infinitesimal non-crossing cumulant functionals, providing a characterization of infinitesimal freeness. The emphasis is put on combinatorics and on the essentially differential ideas underlying this notion. The second part carries further the study of deformations of matrix models, which has been a very active field of research these past years. The results we present are original in the sense they deal with non-necessarily finite rank deterministic Hermitian perturbations of Wigner and Wishart matrices. Moreover, these results shed light on the link between convergence of eigenvalues of deformed matrix models and free probability, particularly the subordination phenomenon related to free convolution. This link gives an illustration of the power of free probability ideas in random matrix problems.

Le travail effectué dans cette thèse concerne les domaines de la théorie des matrices aléatoires et des probabilités libres, dont on connaît les riches connexions depuis le début des années 90. Les résultats s'organisent principalement en deux parties : la première porte sur la liberté infinitésimale, la seconde sur les matrices aléatoires déformées. Plus précisément, on jette les bases d'une théorie combinatoire de la liberté infinitésimale, au premier ordre d'abord, telle que récemment introduite par Belinschi et Shlyakhtenko, puis aux ordres supérieurs. On en donne un cadre simple et général, et on introduit des fonctionnelles de cumulants non-croisés, caractérisant la liberté infinitésimale. L'accent est mis sur la combinatoire et les idées d'essence différentielle qui sous-tendent cette notion. La seconde partie poursuit l'étude des déformations de modèles matriciels, qui a été ces dernières années un champ de recherche très actif. Les résultats présentés sont originaux en ce qu'ils concernent des perturbations déterministes Hermitiennes de rang non nécessairement fini de matrices de Wigner et de Wishart. En outre, un apport de ce travail est la mise en lumière du lien entre la convergence des valeurs propres de ces modèles et les probabilités libres, plus particulièrement le phénomène de subordination pour la convolution libre. Ce lien donne une illustration de la puissance des idées des probabilités libres dans les problèmes de matrices aléatoires.

Mots clés: Probability; Random matrices; Free probability; Free probability of type B; Infinitesimal freeness; Infinitesimal non-crossing cumulants; Dual derivation system; Deformed matrix model; Largest eigenvalue; Extreme eigenvalue; Wigner matrix; Sample covariance matrix.

Mots clés: Probabilités; Matrices aléatoires; Probabilités libres; Probabilités libres de type B; Liberté infinitésimale; Cumulants non-croisés infinitésimaux; Système dual de dérivation; Subordination; Modèle matriciel déformé; Plus grande valeur propre; Valeur propre extrêmale; Matrice de Wigner; Matrice de covariance empirique.

Domaines: Mathématiques [math]

Maxime Fevrier. Infinitesimal freeness and deformed matrix models. Mathematics [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2010. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00567800⟩