Study of disordered or complex spin systems: analogies with the structural glass transition
Étude de systèmes de spins complexes ou désordonnés : analogies avec la transition vitreuse structurelle
Résumé
This thesis deals with the dynamical nature of the glass transition. In a first part, we study a class of mean field spin glass models. We show that the nature of the spin glass transition, either continue with full replica symetry breaking or structural with one step replica symetry breaking, can be infered directly from the density of eigenvalues of the coupling matrix, and more precisely from its behavior around its largest eigenvalue, that is to say the one with lowest energy. The dynamical transition corresponding to the appearence of a very large number of metastable states, we study their number in the generalized random orthogonal model, which is a kind of Hopfield model with extensive number of patterns but where the patterns are strictly orthogonals. We study the influence of pattern orthogonality on the number of one flip stable states. The analytical studies are complemented with numerical simulations. We carry out both the Monte Carlo simulations and exact enumerations on small systems which directly gives access to the equilibrium quantities or the number of one flip stable states with excellent agreement with analytical predictions.\\ In a second part, we study a model without disorder where the order parameter possesses $O(N)$ symmetry but where the ground states are not all equivalent. This model schematically describes the relaxation towards a cristalline or amorph state of a system of hard spheres colloids. We show that the amorphe state is favoured by the dynamics and we study the attraction bassin of both phases for the zero temperature dyanamics : analytically in the large $N$ limit and numerically when $N$ is finite.
Cette thèse s'interesse à la nature dynamique de la transition vitreuse. Dans une première partie, nous nous intéressons à une classe de modèles de verres de spins en champ moyen. Nous montrons que la nature continue -avec brisure complète de la symétrie des répliques- ou structurelle -avec brisure à un pas de la symétrie des répliques- de la transition vitreuse peut être prédite en regardant le spectre de la matrice des couplages et plus précisément la zone de ce spectre située au voisinage de la valeur propre la plus grande, c'est-à-dire correspondant à l'état d'énergie minimale. La transition dynamique correspondant à l'apparition d'une multitude d'états métastables, nous nous intéressons au nombre de ceux-ci dans le modèle orthogonal aléatoire généralisé, qui est un modèle analogue au modèle de Hopfield avec un nombre extensif de motifs, mais où les motifs sont strictement orthogonaux. Nous étudions l'influence de l'orthogonalité des motifs sur le nombre d'états 1-stables (états stables par retournement d'un spin quelconque). Les études analytiques précédentes par la méthode des répliques sont appuyées par des simulations numériques. Nous réalisons à la fois des simulations Monte-Carlo et des énumérations exactes sur des petits systèmes qui permettent d'obtenir les grandeurs thermodynamiques d'équilibre ou le nombre d'états 1-stables en excellent accord avec les prédictions analytiques.\\ Dans une deuxième partie, nous étudions un modèle sans désordre dont le paramètre d'ordre possède la symétrie $O(N)$ et dont les états fondamentaux ne sont pas tous équivalents. Ce modèle décrivant de manière schématique l'évolution vers une phase cristallisé ou amorphe d'un système de colloïdes de sphéres dures. Nous montrons que l'état amorphe est favorisé par la dynamique. Nous étudions alors les bassins d'attraction de chaque phase pour la dynamique à température nulle : analytiquement à la limite où $N$ est grand, et numériquement lorsque $N$ est fini.