Topological asymptotic expansions for a class of quasilinear elliptic equations. Estimates and asymptotic expansions of condenser p-capacities. The anisotropic case of segments.
Développements asymptotiques topologiques pour une classe d'équations elliptiques quasilinéaires. Estimations et développements asymptotiques de p-capacités de condensateurs. Le cas anisotrope du segment.
Résumé
Topological asymptotic expansions for quasilinear elliptic equations, such as the p-Laplace equation, have not been studied yet. Such questions arise from the need to apply topological asymptotic methods in shape optimization to nonlinear elasticity equations as in imaging to detect sets with codimensions $\geq 2$ (e.g. points in 2D or curves in 3D). In Part I our main contribution is to provide topological asymptotic expansions for a class of quasilinear elliptic equations, perturbed in non-empty subdomains. The topological gradient can be split into a classical linear term and a new term which accounts for the nonlinearity of the equation. Comparing with steps carried out to obtain such expansions for the Laplace equation, it turns out that for the p-Laplace equation, one key point lies in the ability to define the variation of the direct state at scale 1 in R^N. Accordingly we build dedicated weighted quotient Sobolev spaces, which semi-norms encompass both the L^p norm and the L^2 norm of the gradient in R^N. Then we consider an appropriate class of quasilinear elliptic equations, to ensure that the problem defining the direct state at scale 1 enjoys a combined p- and 2- ellipticity property. The asymptotic behavior of the solution of the nonlinear interface problem in R^N is then proven. An appropriate duality scheme is set up between direct and adjoint states at various stages of approximation. Part II deals with estimates and asymptotic expansions of condenser p-capacities and focuses on obstacles with empty interiors and with codimensions $\geq 2$. After preliminary results, we introduce equidistant condensers to study the case of segments. The anisotropy caused by a segment in the p-Laplace equation is such that the Pólya-Szegö rearrangement inequality for Dirichlet type integrals yields a trivial lower bound. Moreover, when p > N, one cannot build an admissible solution for the segment, however small its length may be, by extending the case of a punctual obstacle. We provide a lower bound to the N-dimensional condenser p-capacity of a segment, by means of the N-dimensional and of the (N −1)-dimensional condenser p-capacities of a point. The positivity cases follow for p-capacities of segments. Our method can be extended to obstacles of higher dimensions and with codimension $\geq 2$. Introducing elliptical condensers, we show that the topological gradient of the 2- capacity is not an appropriate tool to separate curves and obstacles with non-empty interior in 2D. One way out could be to consider different values of parameter p or to consider the second order of the topological expansion, i.e. the topological hessian.
Les développements asymptotiques topologiques n'ont pas encore été étudiés pour les équations elliptiques quasilinéaires. Cette question apparaît dans la perspective d'appliquer les méthodes d'asymptotique topologique en optimisation de forme aux équations non linéaires de l'élasticité comme en imagerie pour la détection d'ensembles de codimension $\geq 2$ (points en 2D ou courbes en 3D). Dans la Partie I, notre principal résultat réside dans l'obtention du développement asymptotique topologique pour une classe d'équations elliptiques quasilinéaires, perturbées dans des sous-domaines non vides. Le gradient topologique peut être décomposé en un terme linéaire classique et en un terme nouveau, qui rend compte de la non linéarité. L'étude des difficultés spécifiques qui apparaissent avec l'équation de p-Laplace, par comparaison avec l'équation de Laplace, montre qu'un point central réside dans la possibilité de définir la variation de l'état direct à l'échelle 1 dans R^N. Nous étudions en conséquence des espaces de Sobolev à poids et quotientés, dont la semi-norme est la somme des normes L^p et L^2 du gradient dans R^N. Puis nous construisons une classe d'équations elliptiques quasilinéaires, telle que le problème définissant l'état direct à l'échelle 1 vérifie une double propriété de p- et 2- ellipticité. La méthode se poursuit par l'étude du comportement asymptotique de la solution du problème d'interface non linéaire dans R^N et par une mise en dualité appropriée des états directs et adjoints aux différentes étapes d'approximation pour les variations de l'état direct. La Partie II traite d'estimations et de développements asymptotiques de p-capacités de condensateurs, dont l'obstacle est d'intérieur vide et de codimension $\geq 2$. Après quelques résultats préliminaires, nous introduisons les condensateurs équidistants pour étudier le cas des segments. L'effet anisotrope engendré par un segment dans l'équation de p-Laplace est tel que l'inégalité de réarrangement de Pólya-Szegö pour les intégrales de type Dirichlet fournit un minorant trivial. De plus, quand p > N, on ne peut construire par extension une solution admissible pour le segment, aussi petite sa longueur soit-elle, à partir du cas du point. Nous établissons une minoration de la p-capacité N-dimensionnelle d'un segment, qui fait intervenir les p-capacités d'un point, respectivement en dimensions N et (N−1). Les cas de positivité de la p-capacité s'en déduisent. Notre méthode peut être étendue à des obstacles de dimensions supérieures et de codimension $\geq 2$. Introduisant les condensateurs elliptiques, nous montrons que le gradient topologique de la 2-capacité n'est pas un outil approprié pour distinguer les courbes et les obstacles d'intérieur non vide en 2D. Une solution pourrait être de choisir différentes valeurs de p ou bien de considérer le développement asymptotique à l'ordre 2, i.e. la hessienne topologique.
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