New combinatorial features of knots and virtual knots
Résumé
A knot is an embedding of a circle into a 3-dimensional manifold. When this man- ifold is the sphere, knots can be described combinatorially using Gauss diagrams. Forgetting about the actual knots, one can study Gauss diagrams independently: this is called virtual knot theory. In the first part we define a general version of vir- tual knots that depends on a group G endowed with a Z/2-valued homomorphism w. When G and w are suitably chosen, this version generalizes knot theory in a given thickened surface - i.e. a 3-manifold endowed with a line bundle projection onto a surface. Besides encoding knots, Gauss diagrams can also encode Vassiliev's finite-type knot invariants. A complete set of criteria is given to detect these invari- ants in the present framework. Notably, the criterion for Reidemeister III gives a positive answer to a conjecture of Polyak. Several examples are given, including an improvement of Grishanov and Vassiliev's theorem on planar chain invariants. The third part is a draft investigating a plan to find an algorithm that tells whether a knot in the solid torus is isotopic to a closed braid. The first step is achieved: it consists of a characterization of Gauss diagrams of closed braids. We state and investigate a conjecture which predicts that for diagrams with minimal number of crossings, this first step is enough. The last part is a joint work with T.Fiedler, investigating invariants of non generic loops in the space of all immersions of a circle into the 3-space. This space is infinite dimensional, stratified by the degree of non genericity of an immersion. Vas- siliev's theory was based on adding to the usual knots all strata with only ordinary double points as singularities. Here we forbid these double points and regard only some higher codimensional strata with a certain kind of triple points. We show that the resulting space is not simply connected, by exhibiting a non trivial 1-cocycle. Weighting this cocycle gives a new formula for the Casson invariant, using triple unknottings.
Un nœud est un plongement du cercle dans une variété de dimension 3. Dans la sphère S3 , les nœuds peuvent être codés combinatoirement par des diagrammes de Gauss. Ceux-ci peuvent être étudiés indépendamment, en oubliant les véritables nœuds: c'est ce qu'on appelle la théorie des nœuds virtuels. En première partie nous définissons une version générale de nœuds virtuels, dépendant d'un groupe G muni d'un morphisme à valeurs dans Z/2. Lorsque ces paramètres sont bien choisis, la théorie obtenue généralise les nœuds dans une surface épaissie quelconque (c'est-à-dire un fibré en droites réelles sur une surface). Outre l'encodage des nœuds, les diagrammes de Gauss sont aussi un outil puissant pour décrire les invariants de type fini de Vassiliev. En seconde partie, nous donnons un ensemble complet de critères pour détecter ces invariants. Notamment, le critère d'invariance sous Reidemeister III est une réponse positive à une conjecture de M.Polyak. Parmi les exemples donnés figure une nouvelle preuve et une généralisation du théorème de Grishanov-Vassiliev sur les invariants par chaînes planaires. La troisième partie est une ébauche de plan visant à trouver un algorithme pour décider si un diagramme donné dans l'anneau R × S1 représente une tresse fermée dans le tore solide, à isotopie près. La première étape est franchie, consistant à trouver un critère reconnaissant les diagrammes de Gauss des tresses fermées. Nous conjecturons que ce critère suffit pour les diagrammes à nombre minimal de croisements, et proposons des pistes dans cet objectif. La dernière partie est un travail commun avec T.Fiedler, explorant les propriétés d'objets non génériques liés à l'espace de toutes les immersions du cercle dans R3 . Cet espace est de dimension infinie, stratifié par le degré de non généricité des immersions. Alors que la théorie de Vassiliev se cantonne à l'étude des strates contenant uniquement des points doubles ordinaires, ici nous interdisons ces points doubles et autorisons uniquement un certain type de points triples. Nous montrons que l'espace qui en résulte n'est pas simplement connexe en exhibant un 1-cocycle non trivial. Une pondération de ce 1-cocycle fournit une nouvelle formule pour l'invariant de Casson des nœuds.
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