Effective Kaplansky's theorem and local uniformization of quasi-excellent schemes

Théorème de Kaplansky effectif et uniformisation locale des schémas quasi-excellents

Jean-Christophe San Saturnino (1)

1 IMT - Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219

The resolution of curves singularities over C has long been known and has many proofs. One of them consists in using the Newton-Puiseux theorem to obtain the local uniformization of a valuation centered on the starting ring. This theorem provides a puiseux expansion to parametrize the branches of the curve and a set of polynomials describing completely the valuation. In this thesis we generalize this method using key polynomials indexed by a well-ordered set which become coordinates after blowings up. Our first result provides an effective generalization of the Newton-Puiseux theorem for valuation of rank 1 centered on a complete regular local ring and integral relations on the truncation of the series. In the next chapter, we show that there is no limit key polynomials in characteristic zero and we propose a method for the local uniformization of quasi-excellent schemes. This method consists in resolving the singularities of the implicit prime ideal generated by a polynomial and monomializing key polynomials. Finally, in positive or mixed characteristic, we show that, under certain conditions, to obtain the local uniformization it is sufficient to monomialize the first limit key polynomial.

La résolution de singularités des courbes sur C est connue depuis longtemps et possède de nombreuses preuves. L'une d'entre elles consiste à utiliser le théorème de Newton-Puiseux pour obtenir l'uniformisation locale d'une valuation centrée sur l'anneau de départ. Ce théorème fournit une série de Puiseux permettant de paramétrer les branches de la courbe ainsi qu'un ensemble de polynômes décrivant complètement la valuation. Dans cette thèse, nous généralisons cette méthode à l'aide des polynômes-clés indexés sur un ensemble bien ordonné qui deviennent, après éclatements, des coordonnées. Notre premier résultat fournit une généralisation effective du théorème de Newton-Puiseux pour une valuation de rang 1, centrée sur un anneau local régulier et complet, ainsi que des résultats de dépendance intégrale sur les séries tronquées. Dans un second temps, nous montrons qu'il n'y a pas de polynômes-clés limites en caractéristique nulle et proposons une méthode pour obtenir l'uniformisation locale des schémas quasi-excellents. Cette méthode consiste à désingulariser l'idéal premier implicite, engendré par un polynôme, en monomialisant les polynômes-clés. Enfin, en caractéristique positive ou mixte, nous montrons que, pour obtenir l'uniformisation locale, il suffit, sous certaines conditions, de monomialiser le premier polynôme-clé limite.

Mots clés: Puiseux expansions; zero and mixed characteristic; implicit ideal; locals blowings up; monomialization.; Local uniformization; key polynomials

Mots clés: uniformisation locale; polynômes-clés; séries de Puiseux; valuations; caractéristique nulle et mixte; idéal implicite; éclatements locaux; monomialisation

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Jean-Christophe San Saturnino. Théorème de Kaplansky effectif et uniformisation locale des schémas quasi-excellents. Géométrie algébrique [math.AG]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2013. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00973941⟩