Fluid Modeling for Network Dynamics
Modélisation Fluide de Réseaux
Résumé
The subject of this thesis is the development of mathematical models for the dynamics of data fluxes within computer networks. These models are more specifically derived for networks with a big amount of data such as computational grids or AFDX-type avionics networks. The aim is to provide a way, through modeling, to reduce the cost of the simulation of a networks dynamics. These two applications have specific objectives but both share the same modeling approach, based on a micro-meso-macro methodology. Starting from the microscopic description of the network, we identify the characteristic scales and, with a formal asymptotic limit, derive a kinetic model. Using the method of moments, a set of conservation laws can then be obtained. Two different fluid models have been obtained, and their mathematical well-posedness has been proven.
Furthermore, numerical schemes based on Finite Volume Methods have been implemented and the expected qualitative behavior of both networks has been shown through numerical simulations. In particular, it has been shown how the numerical simulation of an AFDX-type network dynamics can be helpful in order to identify the weaknesses (i.e. where congestion may appear) of the network architecture. In order to describe a large panel of networks, such as heterogeneous grids with different latency times, it may be necessary to consider very small values for some parameters of the numerical simulation.
Under these circumstances, the time step constraint arising from the CFL condition becomes critical. This corresponds to a singular asymptotic limit which describes to a different fluid model. Consequently, the last part of the thesis is focused on Asymptotic Preserving (AP) schemes which may be able to overcome the problem of heterogeneous networks coupling different fluid models. We studied this kind of numerical schemes in the context of a high-temperature plasma, deriving a numerical scheme able to operate the transition between the electronic kinetic regime and the adiabatic electronic fluid limit (obtained using the Boltzmann relation). The efficiency of this approach is finally proven using numerical simulations.
Mes travaux de thèse ont consisté à développer des modèles mathématiques pour décrire la dynamique des flux de données dans des réseaux informatiques comprenant un grand volume de données, spécifiquement pour les réseaux de grilles de calcul et les réseaux avioniques de type AFDX. L’objectif est de réduire, par une modélisation adaptée, la complexité des simulations numériques. Si la modélisation des deux types de réseaux étudiés répond à des motivations spécifiques et a nécessité de développer deux modèles fluides distincts, la méthodologie suivie a été la même. Il s’agit, à partir d’une description particulaire de la dynamique du réseau, d’identifier les grandeurs caractéristiques du réseau. Leur hiérarchisation par ordre de grandeur permet de définir une limite asymptotique formelle et d’obtenir une description cinétique du réseau. On peut alors en déduire, via la méthode des moments, les modèles macroscopiques correspondants, sous forme de systèmes de lois de conservation. Nous avons travaillé pour chaque réseau avec une limite asymptotique spécifique. Le système fluide résultant a ensuite fait l’objet d’une étude mathématique démontrant le caractère bien posé de notre modèle.
Par la suite, nous avons mis en œuvre des méthodes numériques de type volumes finis, qui ont permis de simuler nos modèles macroscopiques et de montrer que chacun a un comportement
qualitatif conforme avec le réseau qu’il décrit. Une étude d’un réseau AFDX illustre comment ce type de méthode peut permette d’identifier les points faibles (i.e. de congestion) du réseau.
Afin de prendre en compte une palette plus large de comportements du réseau, nous avons cherché à prendre en compte le cas où certains paramètres de notre modélisation deviennent très petits, comme par exemple le temps de latence dans des réseaux hétérogènes.
Dans ces circonstances, la condition CFL de stabilité liée aux schémas numériques classiques
devient critique. Cela correspond en fait à une limite asymptotique singulière, pour laquelle les schémas classiques appliqués à nos modèles fluides ne sont plus efficaces. A partir de ce constat, nous nous sommes intéressés aux schémas dits “asymptotic preserving” (AP), dans l’objectif, à terme, d’obtenir un schéma numérique qui nous permette de simuler ce type de comportement limite du réseau. Les schémas AP permettent de discrétiser un problème qui présente une singularité à la limite. Pour cela, ils reformulent le problème singulier à l’asymptotique en tirant profit du“bon” problème limite afin d’obtenir un problème qui dégénère vers la bonne limite. Nous avons illustré cette technique AP dans un autre domaine de la physique qui fait couramment intervenir ce type de schéma : les plasmas de fusion, plus particulièrement lorsque les masses des particules sont fortement disparates et que le plasma est étudié dans la direction des lignes de champ. Le schéma que nous avons développé permet de faire la transition entre deux régimes électroniques : le régime électronique cinétique et le régime adiabatique fluide des électrons, donné par la relation de Boltzmann. L’efficacité du schéma est alors illustrée par des résultats numériques.
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