Categories of singularities, matrix factorizations and vanishingcycles

Catégories des singularités, factorisations matricielles et cycles évanescents

Massimo Pippi (1)

1 UT3 - Université Toulouse III - Paul Sabatier

The aim of this thesis is to study the dg categories of singularities Sing(X,s) of pairs (X,s), where X is a scheme and s is a global section of some vector bundle over X. Sing(X,s) is defined as the kernel of the dg functor from Sing(X_0) to Sing(X) induced by the pushforward along the inclusion of the (derived) zero locus X_0 of s in X. In the first part, we restrict ourselves to the case where the vector bundle is trivial. We prove a structure theorem for Sing(X,s) when X=Spec(B) is affine. Roughly, it tells us that every object is Sing(X,s) is represented by a complex of B-modules concentrated in n+1 consecutive degrees (if s\in B^n). By specializing to the case n=1, we generalize Orlov's theorem, which identifies Sing(X,s) with the dg category of matrix factorizations MF(X,s), to the case where s \in O_X(X) is not flat. In the second part, we study the l-adic cohomology of Sing(X,s) (as defined by A.~Blanc - M.~Robalo - B.~Toën and G.~Vezzosi) when s is a global section of a line bundle. In order to do so, we introduce the l-adic sheaf of monodromy-invariant vanishing cycles. Using a theorem of D.~Orlov generalized by J.~Burke and M.~Walker, we compute the l-adic realization of Sing(Spec(B),(f_1,..,f_n)) for (f_1,..,f_n) \in B^n. In the last chapter, we introduce the l-adic sheaves of iterated vanishing cycles of a scheme over a discrete valuation ring of rank 2. We relate one of these l-adic sheaves to the l-adic realization of the dg category of singularities of the fiber over a closed subscheme of the base.

Le but de cette thèse est d'étudier les dg-catégories de singularités Sing(X,s), associées à des couples (X,s), où X est un schéma et s est une section d'un fibré vectoriel sur X. La dg-catégorie Sing(X,s) est définie comme le noyau du dg-foncteur de Sing(X_0) vers Sing(X) induit par l'image directe le long de l'inclusion du lieu de zéros (dérivé) X_0 de s dans X. Dans une première partie, nous supposons que le fibré vectoriel est trivial de rang n. On démontre alors un théorème de structure pour Sing(X,s) dans le cas où X=Spec(B) est affine. Cet énoncé affirme que tout objet de Sing(X,s) est représenté par un complexe de B-modules concentré dans n+1 degrés. Lorsque n=1, cet énoncé généralise l'équivalence d'Orlov , qui identifie Sing(X,s) avec la dg-catégorie des factorisations matricielles MF(X,s), au cas où s \in O_X(X) n'est pas nécessairement plat. Dans une seconde partie, nous étudions la cohomologie l-adique de Sing(X,s) (définie par A.~Blanc - M.~Robalo - B.~Toën and G.~Vezzosi), où s est une section globale d'un fibré en droites. Pour cela, on introduit le faisceau l-adique des cycles évanescents invariantes par monodromie. En utilisant un théorème de D.~Orlov généralisé par J.~Burke et M.~Walker, on calcule la réalisation l-adique de Sing(Spec(B),(f_1,..,f_n)) pour $f_1,..,f_n) \in B^n. Dans le dernier chapitre, nous introduisons les faisceaux l-adiques des cycles évanescents itérés pour un schéma sur un anneau de valuation discrète de rang 2. On relie ces faisceaux l-adiques à la réalisation l-adique des dg-catégories de singularités des fibres prises sur certains sous-schémas fermés de la base.

Mots clés: derived algebraic geometry; non-commutative geometry; vanishing cycles; dg categories of singularities; matrix factorizations; motivic and l-adic realizations of dg categories

Mots clés: géométrie algébrique dérivée; géométrie non-commutative; cycles évanescents; dg-catégories des singularités; factorisations matricielles; réalisations motivique et l-adique des dg-catégories

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Massimo Pippi. Categories of singularities, matrix factorizations and vanishingcycles. Algebraic Geometry [math.AG]. Université Toulouse 3 - Paul Sabatier, 2020. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02864842v1⟩