Super-convergence in maximum norm of the gradient for the Shortley-Weller method

Super-convergence en norme infinie du gradient pour la méthode de Shortley-Weller.

Lisl Weynans (1, 2)

1 MEMPHIS - Modeling Enablers for Multi-PHysics and InteractionS
2 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux

We prove in this paper the second-order super-convergence in maximum norm of the gradient for the Shortley-Weller method. Indeed, with this method the discrete gradient is known to converge with second-order accuracy even if the truncation error near the boundary is only firstorder, and the solution itself only converges with second-order. We present a proof in the finitedifference spirit, inspired by the paper of Ciarlet [1] and taking advantage of a discrete maximum principle to obtain estimates on the coefficients of the inverse matrix. This reasoning leads us to prove third-order convergence for the numerical solution near the boundary of the domain, and then second-order convergence for the discrete gradient in the whole domain. The advantage of this finite-difference approach is that it can provide locally pointwise convergence results depending on the local truncation error and the location on the computational domain, as well as convergence results in maximum-norm.

Nous présentons dans ce rapport une preuve de la super-convergence à l’ordre deux du gradient, en norme L∞ pour la méthode de Shortley-Weller. En effet, avec cette méthode le gradient discret converge à l’ordre deux même si l’erreur de troncature près du bord du domaine est d’ordre un seulement, et que la solution elle-même ne converge aussi qu’à l’ordre deux. La preuve est réalisée avec une technique de différences finies, inspirée par l’article de Ciarlet [1], et utilisant un principe du maximum discret pour obtenir des estimations des coefficients de la matrice inverse. Ce raisonnement nous permet de prouver que la solution numérique converge à l’ordre trois près du bord du domaine, puis que le gradient discret converge à l’ordre deux dans tout le domaine. Cette approche par différences finies permet d’obtenir des résultats de convergence locaux, en fonction des différentes valeurs de l’erreur de troncature et de la position du point considéré sur le domaine de calcul. Elle permet aussi d’obtenir des résultats en norme L∞.

Mots clés: Finite-difference; Poisson equation; Shortley-Weller method; discrete Green’s function

Mots clés: Différences finies; super-convergence; fonction de Green discrète; méthode de Shortley-Weller

Domaines: Analyse numérique [math.NA]; Recherche d'information [cs.IR]

Lisl Weynans. Super-convergence in maximum norm of the gradient for the Shortley-Weller method. [Research Report] RR-8757, INRIA Bordeaux; INRIA. 2017, pp.14. ⟨hal-01176994v2⟩