Asymptotic analysis in cardiac electrophysiology. Applications in modeling and in data assimilation
Analyse asymptotique en électrophysiologie cardiaque. Applications à la modélisation et à l'assimilation de données
Résumé
This thesis aims at developing innovative mathematical tools to improve cardiac electrophysiological modeling.
A detailed presentation of the bidomain model – a system of reaction-diffusion equations – with a fixed domain is given based on the literature. Furthermore, we mathematically justify the homogenization process using the 2-scale convergence. Then, a study of the impact of the mechanical deformations in the conservation laws is performed using the mixture theory.
As the atria walls are very thin and generally appear as thick surfaces in medical imaging, a dimensional reduction of the bidomain model in a thin domain to a surface-based formulation is studied. The challenge is also crucial in terms of computational efficiency. Following similar strategies used in shell mechanical modeling, an asymptotic analysis of the diffusion terms is done with assumptions of strong anisotropy through the thickness, as observed in the atria. Simulations in 2D and 3D illustrate these results. Then, a complete modeling of the heart – with the asymptotic model for the atria and the volume model for the ventricles – allow the simulation of full electrocardiogram cycles. Furthermore, the methods developed in the asymptotic analysis are used to obtain strong convergence results for the 3D-shell models.
Finally, a specific data assimilation method is proposed in order to «personalize» the electrophysiological models. The medical data assimilated in the model – using a Luenberger-like state filter specially designed – are the maps of electrical activation. The proposed methods can be used in other application fields where models (reaction-diffusion) and data (front position) are very similar, as for fire propagation or tumor growth.
Cette thèse est dédiée au développement d’outils mathématiques innovants qui ont pour but d’améliorer la modélisation de l’électrophysiologie cardiaque.
Une présentation approfondie du modèle bidomaine – un système d’équations de réaction-diffusion – à domaine fixé est proposée en s’appuyant sur la littérature. De plus, nous donnons une justification mathématique du processus d’homogénéisation à l’aide la convergence «2-scale». Une étude de l’impact des déformations mécaniques dans les lois de conservation à l’aide de la théorie des mélanges est ensuite faite.
Comme les techniques d’imagerie actuelles ne fournissent globalement que des surfaces pour les oreillettes cardiaques dont l’épaisseur est très faible, une réduction dimensionnelle du modèle bidomaine dans une couche mince à une formulation posée sur la surface associée est étudiée. L’enjeu est aussi crucial en termes d’efficacité de calcul. À l’aide de techniques développées pour les modèles de coques, une analyse asymptotique des termes de diffusion est faite sous des hypothèses de gradient d’anisotropie fort à travers l’épaisseur, situation rencontrée dans les oreillettes. Des simulations 2D-3D illustrent les résultats. Puis, une modélisation complète du cœur – avec le modèle asymptotique pour les oreillettes et le modèle volumique pour les ventricules – permet la simulation de cycles complets d’électrocardiogramme. De plus, les méthodes développées dans l’analyse asymptotique sont utilisées pour obtenir des résultats de convergence forte pour les modèles de coque-3D.
Enfin, dans la perspective de «personnaliser» les modèles, une méthode d’estimation des modèles d’électrophysiologie est proposée. Les données médicales intégrées dans notre modèle – au moyen d’un filtre d’état de type Luenberger spécialement conçu – sont les cartes d’activation électrique. Ces problématiques apparaissent dans d’autres domaines où les modèles (de réaction-diffusion) et les données (position du front) sont très similaires, comme la propagation de feux ou la croissance tumorale.