Topological inference from measures and vector bundles

Inférence topologique à partir de mesures et de fibrés vectoriels

Raphaël Tinarrage (1, 2)

1 LMO - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
2 DATASHAPE - Understanding the Shape of Data

We contribute to the theory of topological inference, based on the theory of persistent homology, by proposing three families of filtrations. For each of them, we prove consistency results---that is, quality of approximation of an underlying geometric object---, and stability results---that is, robustness against initial measurement errors. We propose concrete algorithms in order to use these methods in practice. The first family, the DTM-filtrations, is a robust alternative to the usual Čech filtration when the point cloud is noisy or contains anomalous points. It is based on the notion of distance to measure, which allows to obtain stability in the sense of the Wasserstein distance. Secondly, we propose the lifted filtrations, which make it possible to estimate the homology of immersed manifolds, even when their reach is zero. We introduce the notion of normal reach, and show that it allows to control geometric quantities associated to the manifold. We study the estimation of tangent spaces by local covariance matrices. Thirdly, we develop a theoretical framework for vector bundle filtrations, and define the persistent Stiefel-Whitney classes. We show that the persistent classes associated to the Čech bundle filtrations are Hausdorff-stable and consistent. To allow their algorithmic implementation, we introduce the notion of weak star condition.

Nous contribuons à l'inférence topologique, basée sur la théorie de l'homologie persistante, en proposant trois familles de filtrations. Nous établissons pour chacune d'elles des résultats de consistance~-- c'est-à-dire de qualité d'approximation d'un objet géométrique sous-jacent~--, et de stabilité~-- c'est-à-dire de robustesse face à des erreurs de mesures initiales. Nous proposons des algorithmes concrets afin de pouvoir utiliser ces méthodes en pratique. La première famille, les filtrations-DTM, est une alternative robuste à la filtration de Čech habituelle lorsque le nuage de points est bruité ou contient des points aberrants. Elle repose sur la notion de distance à la mesure, qui permet d'obtenir une stabilité au sens de la distance de Wasserstein. Deuxièmement, nous proposons les filtrations relevées, qui permettent d'estimer l'homologie des variétés immergées, même quand leur portée est nulle. Nous introduisons la notion de portée normale, et montrons qu'elle permet de contrôler des quantités géométriques associées à la variété. Nous étudions l'estimation des espaces tangents par les matrices de covariance locale. Troisièmement, nous développons un cadre théorique pour les filtrations de fibrés vectoriels, et définissons les classes de Stiefel-Whitney persistantes. Nous montrons que les classes de Stiefel-Whitney persistantes associées aux filtrations de fibrés de Čech sont consistantes et stables en distance de Hausdorff. Pour permettre leur mise en œuvre algorithmique, nous introduisons la notion de condition étoile faible.

Mots clés: Persistent homology; Wasserstein distances; Characteristic classes; Topological Data Analysis

Mots clés: Homologie persistante; Distances de Wasserstein; Classes caractéristiques; Analyse topologique de données

Domaines: Géométrie algorithmique [cs.CG]; Topologie algébrique [math.AT]; Géométrie différentielle [math.DG]

Raphaël Tinarrage. Topological inference from measures and vector bundles. Computational Geometry [cs.CG]. Université Paris-Saclay, 2020. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02970491v1⟩