The CM class number one problem for curves
Le probleme du nombre de classes 1 pour les courbes
Résumé
The main subject of this thesis is the CM class number one problem for curves of genus g, in the cases g=2 and g=3. The problem asks for which CM fields of degree 2g with a primitive CM type are the corresponding CM curves of genus g defined over the reflex field. Chapter 1 is an introduction to abelian varieties and complex multiplication theory. We present facts that we will use in later chapters. The results in this chapter are mostly due to Shimura and Taniyama. Chapter 2 is a joint work with Marco Streng, we give a solution to the CM class number one problem for curves of genus 2. Chapter 3 deals with the CM class number one problem for curves of genus 3. We give a partial solution to this problem. We restrict ourselves to the case where the sextic CM field corresponding to such a curve contains an imaginary quadratic subfield. Chapter 4 gives the complete list of sextic CM fields K for which there exist principally polarized simple abelian threefolds that has CM by the maximal order of K with rational field of moduli.
Cette thèse de doctorat porte sur le problème du nombre de classes 1 pour les courbes de genre g pour g=2 et g=3. Il s'agit de déterminer les corps CM de degré 2g pour un type CM primitif correspondant à des courbes CM de genre g définie sur le corps réflexe. Le premier chapitre fournit une introduction aux variétés abéliennes et à la théorie de la multiplication complexe. Nous présentons des résultats, dus essentiellement à Shimura et Taniyama, qui sont utilisés dans les chapitres suivants. Le chapitre 2 est un travail commun avec Marco Streng; nous donnons une solution complète aux problème du nombre de classes 1 pour les courbes de genre 2. Le troisième chapitre traite du problème du nombre de classes 1 pour les courbes de genre 3, et nous donnons une solution partielle à ce problème. Nous nous limitons au cas que le corps CM sextique correspondant à une telle courbe contient un sous-corps quadratique imaginaire. Le chapitre 4 fournit la liste complète des corps CM sextique K pour lesquels il existe des variétés simples et principalement polarisées de dimension 3 qui ont CM par l'ordre maximal de K et dont le corps des modules est rationnel.
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