Sur l'(A,B)-invariance de polyèdres convexes ; application à la commande sous contraintes et au problème l1
Résumé
This work analyses the property of (A,B)-invariance of convex polyhedra and its application to the control of constrained systems and to the l 1 control problem. Firstly, an explicit characterization of (A,B)-invariance of convex polyhedra for discrete-time systems is proposed. Such a characterization amounts to necessary and sufficient conditions in the form of linear matrix relations, and presents two major advantages compared to the ones found in the literature: it applies to any convex polyhedron and it does not require the computation of vertices. Such advantages are particularly felt in the computation of the supremal (A,B)-invariant domain included in a given polyhedron, for which we propose a numerical method. The problem of computing a control law which makes an (A,B)-invariant polyhedron positively invariant in closed-loop is treated as well. The (A,B)-invariance relations are then generalized to systems subject to linear constraints on the control vector and to systems subject to bounded additive disturbances. The results obtained for discrete-time systems are then extended to continuous-time systems. Next, the problem of attenuation of persistent additive disturbances, known in the literature as the l 1 control problem, is studied. The internally stabilizable (A,B)-invariant domains are firstly characterized. Then, a decomposed approach is proposed for the computation of the supremal internally stabilizable domain included in the polyhedron defined by the l 1 performance constraints. A given performance is achievable if and only if this associated supremal domain is not empty. Such a geometric approach allows to directly determine the solution of the l 1 problem for an important class of systems. Finally, the study of (A,B)-invariance of polyhedra is extended to systems whose model is subject to structured uncertainties.
Ce travail porte sur l'étude de la propriété d'(A,B)-invariance de polyèdres convexes et son application à la commande sous contraintes et au problème l 1. D'abord, nous proposons une caractérisation explicite de l'(A,B)-invariance de polyèdres convexes pour des systèmes en temps discret. Cette caractérisation se traduit par des conditions nécessaires et suffisantes sous la forme de relations matricielles linéaires, et présente deux avantages majeurs vis-à-vis de celles rencontrées dans la littérature : elle s'applique à tous les polyèdres convexes et elle ne nécessite pas le calcul de sommets. Ces avantages se font sentir notamment dans le calcul du domaine (A,B)-invariant suprémal inclus dans un polyèdre donné, pour lequel nous proposons une méthode numérique. Le problème de calculer une loi de commande rendant positivement invariant en boucle fermée un polyèdre (A,B)-invariant est également traité. Les relations d'(A,B)-invariance sont alors généralisées à des systèmes soumis à des contraintes linéaires sur la commande et à des systèmes soumis à des perturbations additives bornées. Puis, les résultats obtenus en temps discret sont étendus aux systèmes en temps continu. Ensuite, le problème d'atténuation de perturbations additives persistantes, connu dans la littérature comme problème l 1, est étudié. Les domaines (A,B)-invariants intérieurement stabilisables sont d'abord caractérisés. Puis, nous proposons une approche décomposée pour le calcul du domaine intérieurement stabilisable suprémal inclus dans le polyèdre défini par les contraintes de performance l 1. Un niveau de performance donné est atteignable si et seulement si ce domaine suprémal n'est pas vide. Cette approche géométrique permet notamment de déterminer directement la solution du problème l 1 pour une classe importante de systèmes. Enfin, nous étendons l'étude de l'(A,B)-invariance de polyèdres à des systèmes dont le modèle est soumis à des incertitudes d u type structuré.