Contributions to the study of the default time of a Lévy process in complete and incomplete observation
Contributions à l'étude de l'instant de défaut d'un processus de Lévy en observation complète et incomplète
Résumé
In this Ph.D thesis, we consider a jump-diffusion process X which the diffusion part is a Brownian motion and and the jump part is a compound Poisson process. We assume that a firm value is modelling by a tochastic process V= V_0 exp-X. This firm goes to default whenever its value is below a specified threshold b which is exogenously etermined. For x= ln V_0 - ln b, the default time is of the form T_x=inf{ t> : X_t > x}.
First, we suppose that agents observe perfectly the firm value. In this model, we showed in chapter 2 that the density of the default time is continuous, then study the joint law of default time, overshoot and undershoot.
We obtained in chapter 3 a valued measure differential equation which the solution is the quadruplet formed by the random variable X_t, the running supremum X_t^* fo X at time t, the supremum of X at the last jump time before t and the last jump time before t.
Secondly, we assume that investor wishing detain a part of the firm can not observe the firm value. They observe a noisy value of the fimr and their information is modelling by the filtration G generated by their information. In this model, we have shown that the conditional density of the default time with respect to G has a density which is solution of one stochastic integral-differential equation. The knoledge of this density allows investors to predict the default time after time t. This econd part is develoed in our chapter 4
Dans nos travaux, nous avons considéré un processus de Lévy X avec une composante brownienne non nulle et dont la partie à sauts est un processus de Poisson composé. Nous avons supposé que la valeur d'une entreprise est modélisée par un processus stochastique de la forme V = Vo exp X et que cette entreprise est mise à défaut dès lors que sa valeur passe sous un certain seuil b déterminé de façon exogène et qui donc, est une donnée du problème. L'instant de défaut T est alors de la forme Tx pour x= ln(Vo) ln((b) où x> 0, Tx = inf{t 2:0: X, 2:x}. Dans un premier temps, nous supposons que des agents observant la valeur V des actifs de la firme souhaitent connaître le comportement de l'instant de défaut. Dans ce modèle, au chapitre 2, nous avons étudié d'une part la régularité de la densité de la loi de l'instant de défaut. D'autre part, nous avons étudié la loi conjointe de l'instant de défaut, de l'overshoot et de l'undershoot. Au chapitre 3, nous avons obtenu une équation à valeurs mesures dont le quadriplet formé par la variable aléatoire X,, le su premum du processus X à l'instant t, le supremum du processus X au dernier instant de saut avant l'instant t et le dernier instant de saut à l'instant t est solution au seris faible, puis une équation dont ce quadriplet est une solution forte. Dans un second temps, au chapitre 4, nous avons supposé que des investisseurs souhaitant détenir une part de cette entreprise ne disposent pas de l'information complète. Ils n'observent pas la valeur des actifs de la firme V, mais sa valeur bruitée. Leur information est modélisée par la filtration Ç = (Ç,, t 2: 0) engendrée par cette observation. Dans ce modèle, nous avons montré que la loi conditionnelle de l'instant de défaut sachant la tribu Ç, admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue et obtenu une équation de Volttera dont cette densité est solution. Cette connaissance permet aux investisseurs de prévoir au vu de leur information, quand est-ce que l'instant de défaut va intervenir après l'instant t. Nous avons complété ce travail par des simulations numérique.